2014　豊橋技術科学大学　前期MathJax

【１】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}0& a\\ 1& -1\end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}O=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$が$A^2+A+E=O$の関係を満足しているとき，次の問いに答えよ．ただし，$a$は実数とする．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　$A^3$を，(1)で求めた$a$の値を用いて求めよ．

(3)　$E+A+A^2+A^3+A^4+A^5+A^6+A^7+A^8+A^9+A^{10}$を，(1)で求めた$a$の値を用いて求めよ．

(4)　$A$の逆行列$A^{-1}$を，(1)で求めた$a$の値を用いて求めよ．

【２】　$xy$平面上に$2$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(4,3)$を直径の両端とする円がある．図のようにこの円と$x$軸との原点以外の交点を$\mathrm{B}\text{，}$線分$\mathrm{OA}$に関して$\mathrm{B}$と反対側の円周上に$\angle \mathrm{COA}=45\mathrm{°}$を満たす点$\mathrm{C}$をとり，線分$\mathrm{CA}$の延長線と$x$軸との交点を$\mathrm{D}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$▵\mathrm{AOD}$の外心を$\mathrm{P}$として，$\angle \mathrm{OPD}$の大きさを求めよ．

(2)　点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．

(3)　$▵\mathrm{AOD}$の外接円の方程式を求めよ．

(4)　$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線と線分$\mathrm{AD}$との交点を$\mathrm{E}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を成分表示せよ．

【３】　$xy$平面内の直線$L$を$x-ay+a^2-1=0$とするとき，以下の問いに答えよ．ただし，$a$は実数とする．

(1)　直線$L$と$x$軸との交点の座標を$a$を用いて表せ．

(2)　直線$L$は$a$が$0$でないとき$y$軸と交わる．このときの$y$軸との交点の座標を$a$を用いて表せ．

(3)　直線$L$上の点$(x,y)$がとりえる範囲を，$x$と$y$に関する不等式で表せ．

(4)　(3)で求めた範囲の境界を曲線$C$とする．直線$L$と曲線$C$が接することを示し，接点の座標を$a$を用いて表せ．

(5)　$a>0$のとき，直線$L$と(4)の曲線$C$および$x$軸で囲まれ，かつ$x\geqq 0$の部分の面積を$a$を用いて表せ．

【４】　$\mathrm{A}$と書かれた青，赤，黄，緑の$4$個の球と，$\mathrm{B}$と書かれた青，赤，黄，緑の$4$個の球がある．これらの球を袋に入れて，この袋から球を取り出すとする．以下の問いに答えよ．ただし，答えは既約分数で示せ．

(1)　球を$1$個ずつ$4$回取り出す．取り出した球は色を確認したら袋に戻し，次の球を取り出すとする．このとき，以下のア，イの問いに答えよ．

ア.　$4$回のうち，同じ色の球を$2$回以上取り出す確率を求めよ．

イ.　$4$回のうち，異なる$2$色の球をそれぞれ$2$回ずつ取り出す確率を求めよ．

(2)　$4$球を同時に取り出すとする．このとき，以下のア，イ，ウの問いに答えよ．

ア.　$4$個の球を同時に取り出したとき，$\mathrm{A}$と書かれた球が$2$個，$\mathrm{B}$と書かれた球が$2$個である確率を求めよ．

イ.　$4$個の球を同時に取り出したとき，少なくとも赤球が$1$個含まれ，かつ$\mathrm{A}$と書かれた球が$2$個，$\mathrm{B}$と書かれた球が$2$個である確率を求めよ．

ウ.　$4$個の球を同時に取り出して文字を確認した後，袋に球をすべて戻してもう一度同時に$4$個の球を取り出す．この合計$8$個の球のうち，$\mathrm{A}$と書かれた球が$6$個で，$\mathrm{B}$と書かれた球が$2$個である確率を求めよ．