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2014-10535-0101
2014 滋賀医科大学 前期
医(医学科)学部
配点50点
易□ 並□ 難□
【1】 さいころを n 回( n ≧1 )投げて,出た目の最小公倍数を l とするとき,次の確率を求めよ.
(1) 2 と 3 の少なくとも一方が一度も出ない確率
(2) l が素数となる確率
(3) l が出た目の一つに等しい確率
2014-10535-0102
【2】 OA=BC , OB=CA , OC=AB である四面体 OABC を考える. OA→ =a→ , OB→ =b→ , OC→ =c→ とする. a→ , b→ , c→ は,ベクトル x→ , y→ , z→ を用いて a→= y→ +z→ , b→ =z→ +x→ , c→ =x→ +y→ と表されている.
(1) x→ , y→ , z→ を a→ , b→ , c→ を用いて表せ.
(2) 内積 x→⋅ y→ , y→ ⋅z → ,z →⋅ x→ を求めよ.
(3) 点 P が 4 点 O ,A , B ,C から等距離にあるとき, OP→ を a→ , b→ , c→ を用いて表せ.さらに長さ OP を OA , OB ,OC を用いて表せ.
(4) 点 O ,A , B の座標がそれぞれ ( 0,0, 0) ,( 0,2, 2) ,( 0,3, 0) であるとき,点 C の座標をすべて求めよ.
2014-10535-0103
【3】 f⁡( x)= sin ⁡xe x ,g⁡ (x) = cos⁡x ex とする.
(1) 関数 f ⁡(x ) の第 4 次までの導関数を求めよ.
(2) 0≦x ≦2⁢π の範囲において, 2 つの曲線 y =f⁡( x) ,y= g⁡( x) の概形をかけ.
(3) x≧0 の範囲において, 2 つの曲線 y =f⁡( x) ,y =g⁡( x) の交点を x 座標の小さい順に P1 , P2 , ⋯ , Pn , ⋯ とするとき, Pn の座標を求めよ.
(4) Pn の x 座標を a n とする. an≦ x≦a n+1 の範囲において, 2 つの曲線 y =f⁡( x) ,y =g⁡( x) で囲まれた部分の面積を S n とする. ∑n= 1∞ Sn を求めよ.
2014-10535-0104
【4】 関数 f ⁡(x ) は導関数 f ′⁡( x) および第 2 次導関数 f ″⁡( x) をもち,区間 0 ≦x≦1 において,
f⁡( x)> 0 , {f′ ⁡(x )} 2≦f ⁡(x )⁢f ″⁡( x)≦ 2⁢{ f′⁡( x) }2
を満たしている. f⁡( 0)= a, f⁡( 1)= b とするとき,次の不等式を示せ.
(1) f⁡ ( 1 2) ≦ a+b 2
(2) f⁡( 13 )≦ a2 ⁢b3
(3) f⁡( 14 )≧ 4 ⁢a⁢b a+3⁢ b
(4) ∫ 01 f⁡( x)⁢ dx≦ 14⁢ a+ 12 ⁢ ab+ 14 ⁢ b