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2014-10541-0101
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2014 京都大学 前期
文系
配点30点
易□ 並□ 難□
【1】 0≦ θ≦90 ⁢° とする. x についての 4 次方程式
{x 2-2 ⁢(cos ⁡θ) ⁢x-cos ⁡θ+1 }⁢ {x2 +2⁢ (tan⁡ θ)⁢ x+3} =0
は虚数解を少なくとも 1 つ持つことを示せ.
2014-10541-0102
望星塾さんの解答(PDF11頁8行目)へ
【2】 t を実数とする. y=x 3-x のグラフ C へ点 P( 1,t ) から接線を引く.
(1) 接線がちょうど 1 本だけ引けるような t の範囲を求めよ.
(2) t が(1)で求めた範囲を動くとき, P (1 ,t) から C へ引いた接線と C で囲まれた部分の面積を S ⁡(t ) とする. S⁡( t) の取りうる値の範囲を求めよ.
2014-10541-0103
望星塾さんの解答(PDF1頁7行目)へ
文系・理系共通
理系は【1】
【3】 座標空間における次の 3 つの直線 l , m ,n を考える:
l は点 ( 1,0, -2) を通り,ベクトル u→= (2, 1,-1 ) に平行な直線である.
m は点 B ( 1,2, -3) を通り,ベクトル v→= (1, -1,1 ) に平行な直線である.
n は点 C ( 1,-1 ,0) を通り,ベクトル w→= (1, 2,1 ) に平行な直線である.
P を l 上の点として, P から m , n へ下ろした垂線の足をそれぞれ Q , R とする.このとき, PQ2 +PR2 を最小にするような P と,そのときの PQ2+ PR2 を求めよ.
2014-10541-0104
望星塾さんの解答(PDF12頁14行目)へ
【4】 次の式
a1 =2 ,a n+1 =2 an-1 ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ )
で定められる数列 { an } を考える.
(1) 数列 { an } の一般項を求めよ.
(2) 次の不等式
an 2-2 ⁢an >1015
を満たす最小の自然数 n を求めよ.ただし, 0.3010< log10⁡ 2<0.3011 であることは用いてよい.
2014-10541-0105
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望星塾さんの解答(PDF14頁5行目)へ
【5】 1 から 20 までの目がふられた正 20 面体のサイコロがあり,それぞれの目が出る確率は等しいものとする. A , B の 2 人がこのサイコロをそれぞれ一回ずつ投げ,大きな目を出した方はその目を得点とし,小さな目を出した方は得点を 0 とする.また同じ目が出た場合は, A , B ともに得点を 0 とする.このとき, A の得点の期待値を求めよ.
2014-10541-0106
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理系
【2】 2 つの粒子が時刻 0 において ▵ABC の頂点 A に位置している.これらの粒子は独立に運動し,それぞれ 1 秒ごとに隣の頂点に等確率で移動していくとする.たとえば,ある時刻で点 C にいる粒子は,その 1 秒後には点 A または点 B にそれぞれ 12 の確率で移動する.この 2 つの粒子が,時刻 0 の n 秒後に同じ点にいる確率 p ⁡( n) を求めよ.
2014-10541-0107
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配点35点
【3】 ▵ABC は,条件 ∠B =2⁢∠ A ,BC =1 を満たす三角形のうちで面積が最大のものであるとする.このとき, cos⁡∠ B を求めよ.
2014-10541-0108
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【4】 実数の定数 a , b に対して,関数 f ⁡(x ) を
f⁡( x)= a ⁢x+b x2 +x+1
で定める.すべての実数 x で不等式
f⁡( x)≦ f⁡( x)3 -2⁢ f⁡( x)2 +2
が成り立つような点 ( a,b ) の範囲を図示せよ.
2014-10541-0109
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【5】 自然数 a , b はどちらも 3 で割り切れないが, a3 +b3 は 81 で割り切れる.このような a , b の組 ( a,b ) のうち, a2 +b2 の値を最小にするものと,そのときの a2+ b2 の値を求めよ.
2014-10541-0110
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【6】 双曲線 y = 1x の第 1 象限にある部分と,原点 O を中心とする円の第 1 象限にある部分を,それぞれ C1 ,C 2 とする. C1 と C 2 は 2 つの異なる点 A ,B で交わり,点 A における C 1 の接線 l と線分 OA のなす角は π6 であるとする.このとき, C 1 と C 2 で囲まれる図形の面積を求めよ.