2014 京都大学 前期MathJax

Mathematics

Examination

Test

Archives

2014 京都大学 前期

文系

配点30点

易□ 並□ 難□

【1】  0 θ90 ° とする. x についての 4 次方程式

{x 2-2 (cos θ) x-cos θ+1 } {x2 +2 (tan θ) x+3} =0

は虚数解を少なくとも 1 つ持つことを示せ.

2014 京都大学 前期

文系

配点30点

易□ 並□ 難□

【2】  t を実数とする. y=x 3-x のグラフ C へ点 P( 1,t ) から接線を引く.

(1) 接線がちょうど 1 本だけ引けるような t の範囲を求めよ.

(2)  t が(1)で求めた範囲を動くとき, P (1 ,t) から C へ引いた接線と C で囲まれた部分の面積を S (t ) とする. S( t) の取りうる値の範囲を求めよ.

2014 京都大学 前期

文系・理系共通

配点30点

理系は【1】

易□ 並□ 難□

【3】 座標空間における次の 3 つの直線 l m n を考える:

l は点 ( 1,0, -2) を通り,ベクトル u= (2, 1,-1 ) に平行な直線である.

m は点 B ( 1,2, -3) を通り,ベクトル v= (1, -1,1 ) に平行な直線である.

n は点 C ( 1,-1 ,0) を通り,ベクトル w= (1, 2,1 ) に平行な直線である.

P l 上の点として, P から m n へ下ろした垂線の足をそれぞれ Q R とする.このとき, PQ2 +PR2 を最小にするような P と,そのときの PQ2+ PR2 を求めよ.

2014 京都大学 前期

文系

配点30点

易□ 並□ 難□

【4】 次の式

a1 =2 a n+1 =2 an-1 n=1 2 3

で定められる数列 { an } を考える.

(1) 数列 { an } の一般項を求めよ.

(2) 次の不等式

an 2-2 an >1015

を満たす最小の自然数 n を求めよ.ただし, 0.3010< log10 2<0.3011 であることは用いてよい.

2014 京都大学 前期

文系

配点30点

易□ 並□ 難□

【5】  1 から 20 までの目がふられた正 20 面体のサイコロがあり,それぞれの目が出る確率は等しいものとする. A B 2 人がこのサイコロをそれぞれ一回ずつ投げ,大きな目を出した方はその目を得点とし,小さな目を出した方は得点を 0 とする.また同じ目が出た場合は, A B ともに得点を 0 とする.このとき, A の得点の期待値を求めよ.

2014 京都大学 前期

理系

配点30点

易□ 並□ 難□

【2】  2 つの粒子が時刻 0 において ABC の頂点 A に位置している.これらの粒子は独立に運動し,それぞれ 1 秒ごとに隣の頂点に等確率で移動していくとする.たとえば,ある時刻で点 C にいる粒子は,その 1 秒後には点 A または点 B にそれぞれ 12 の確率で移動する.この 2 つの粒子が,時刻 0 n 秒後に同じ点にいる確率 p ( n) を求めよ.

2014 京都大学 前期

理系

配点35点

易□ 並□ 難□

【3】  ABC は,条件 B =2 A BC =1 を満たす三角形のうちで面積が最大のものであるとする.このとき, cos B を求めよ.

2014 京都大学 前期

理系

配点35点

易□ 並□ 難□

【4】 実数の定数 a b に対して,関数 f (x )

f( x)= a x+b x2 +x+1

で定める.すべての実数 x で不等式

f( x) f( x)3 -2 f( x)2 +2

が成り立つような点 ( a,b ) の範囲を図示せよ.

2014 京都大学 前期

理系

配点35点

易□ 並□ 難□

【5】 自然数 a b はどちらも 3 で割り切れないが, a3 +b3 81 で割り切れる.このような a b の組 ( a,b ) のうち, a2 +b2 の値を最小にするものと,そのときの a2+ b2 の値を求めよ.

2014 京都大学 前期

理系

配点35点

易□ 並□ 難□

【6】 双曲線 y = 1x の第 1 象限にある部分と,原点 O を中心とする円の第 1 象限にある部分を,それぞれ C1 C 2 とする. C1 C 2 2 つの異なる点 A B で交わり,点 A における C 1 の接線 l と線分 OA のなす角は π6 であるとする.このとき, C 1 C 2 で囲まれる図形の面積を求めよ.

inserted by FC2 system