2014　京都工芸繊維大学　後期MathJax

【１】　空間内の$3$点$\mathrm{A}(a_1,a_2,a_3)\text{，}$$\mathrm{B}(b_1,b_2,b_3)\text{，}$$\mathrm{C}(c_1,c_2,c_3)$が次の条件を満たすとする．

$▵\mathrm{ABC}$は$1$辺の長さが$3\sqrt{2}$の正三角形で，その重心は原点$\mathrm{O}$である．

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$に対して，大きさ$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|$と内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を求めよ．

(2)　$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3$はすべて整数であり，$a_1\geqq a_2\geqq a_3\geqq 0$を満たしている．このとき，$\mathrm{A}$の座標を求めよ．

(3)　$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}{b}_1\text{，}{b}_2\text{，}{b}_3\text{，}{c}_1\text{，}{c}_2\text{，}{c}_3$はすべて整数であり，

$a_1\geqq a_2\leqq a_3\geqq 0\text{，}$$b_3\geqq c_3$

を満たしている．このとき，$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の座標を求めよ．

【２】　関数$f(x)=\sqrt{\pi -x}\sin x\text{（}x\leqq \pi \text{）}$を考える．曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(0,f(0))$における接線を$l$とし，$l$の方程式を$y=g(x)$とする．

(1)　$g(x)$を求めよ．

(2)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，$f(x)\leqq g(x)$であることを証明せよ．

(3)　曲線$y=f(x)(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$と$l$と直線$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で囲まれた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$の値を求めよ．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面において，点${\mathrm{P}}_n\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$を次の規則で定める．

(ⅰ)　${\mathrm{P}}_0(1,0)$とする．

(ⅱ)　$0$以上の整数$n$に対して${\mathrm{P}}_n$が定まったとき，${\mathrm{P}}_n$を原点$\mathrm{O}$を中心として反時計まわりに角${\displaystyle \frac{\pi }{2^n}}$だけ回転し，さらに$x$軸に関して対称移動した点を${\mathrm{P}}_{n+1}$とする．

ただし，点$\mathrm{Q}$が$x$軸上にあるとき，$\mathrm{Q}$を$x$軸に関して対称移動した点は$\mathrm{Q}$自身である．

(1)　実数$\alpha \text{，}\beta$に対して，行列の積

$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\cos \beta & -\sin \beta \\ \sin \beta & \cos \beta \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right)$

を求めよ．

(2)　$0$以上の整数$n$に対して，${\mathrm{P}}_{n+2}$は${\mathrm{P}}_n$を原点$\mathrm{O}$を中心として反時計まわりに角${\displaystyle \frac{\pi }{2^{n+1}}}$だけ回転した点であることを証明せよ．

(3)　$0$以上の整数$n$に対して，${\mathrm{P}}_{2n}$の座標を求めよ．

(4)　自然数$n$に対して$▵\mathrm{O}{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_{2n}$の面積を$S_n$とおくとき，極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　関数$y={\displaystyle \frac{x^3}{3+x^4}}$の最大値および最小値を求めよ．

(2)　必要であれば平均値の定理を用いて，実数$x\text{，}a$に対して，不等式

$|\log (3+x^4)-\log (3+a^4)|\leqq \sqrt{3}|x-a|$

が成り立つことを証明せよ．