2014　大阪大学　前期MathJax

【１】　$i$は虚数単位とし，実数$a\text{，}b$は$a^2+b^2>0$を満たす定数とする．複素数$(a+bi)(x+yi)$の実部が$2$に等しいような座標平面上の点$(x,y)$全体の集合を$L_1$とし，また$(a+bi)(x+yi)$の虚部が$-3$に等しいような座標平面上の点$(x,y)$全体の集合を$L_2$とする．

(1)　$L_1$と$L_2$はともに直線であることを示せ．

(2)　$L_1$と$L_2$は互いに垂直であることを示せ．

(3)　$L_1$と$L_2$の交点を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　$\cos x+\cos y\ne 0$を満たすすべての実数$x\text{，}y$に対して等式

$\tan {\displaystyle \frac{x+y}{2}}={\displaystyle \frac{\sin x+\sin y}{\cos x+\cos y}}$

が成り立つことを証明せよ．

(2)　$\cos x+\cos y+\cos z\ne 0$を満たすすべての実数$x\text{，}y\text{，}z$に対して等式

$\tan {\displaystyle \frac{x+y+z}{3}}={\displaystyle \frac{\sin x+\sin y+\sin z}{\cos x+\cos y+\cos z}}$

は成り立つか．成り立つときは証明し，成り立たないときは反例を挙げよ．

【３】　関数$f(x)=p{x}^3+q{x}^2+rx+s$は，$x=0$のとき極大値$M$をとり，$x=\alpha$のとき極小値$m$をとるという．ただし，$\alpha \ne 0$とする．このとき，$p\text{，}q\text{，}r\text{，}s$を$\alpha \text{，}M\text{，}m$で表せ．

【１】　実数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d\text{，}e$に対して，座標平面上の点$\mathrm{A}(a,b)\text{，}\mathrm{B}(c,d)\text{，}\mathrm{C}(e,0)$をとる．ただし点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$はどちらも原点$\mathrm{O}(0,0)$とは異なる点とする．このとき，実数$s\text{，}t$で

$s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

を満たすものが存在するための，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d\text{，}e$についての必要十分条件を求めよ．

【２】　$t>0$において定義された関数$f(x)$は次の条件(ア)(イ)を満たす．

　このとき，$f(t)$を求めよ．

【３】　${\displaystyle \sum _{n=1}^{40000}}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}$の整数部分を求めよ．

【４】　半径$1$の$2$つの球$S_1$と$S_2$が$1$点で接している．互いに重なる部分のない等しい半径を持つ$n$個（$n\geqq 3$）の球$T_1\text{，}{T}_2\text{，}\cdots \text{，}{T}_n$があり，次の条件(ア)(イ)を満たす．

(ア)　$T_i$は$S_1\text{，}{S}_2$にそれぞれ$1$点で接している（$i=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$）．

(イ)　$T_i$は$T_{i+1}$に$1$点で接しており（$i=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n-1$），そして$T_n$は$T_1$に$1$点で接している．

　このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$T_1\text{，}{T}_2\text{，}\cdots \text{，}{T}_n$の共通の半径$r_n$を求めよ．

(2)　$S_1$と$S_2$の中心を結ぶ直線のまわりに$T_1$を回転してできる回転体の体積を$V_n$とし，$T_1\text{，}{T}_2\text{，}\cdots \text{，}{T}_n$の体積の和を$W_n$とするとき，極限

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{W_n}{V_n}}$

を求めよ．

【５】　さいころを繰り返し投げ，$n$回目に出た目を$X_n$とする．$n$回目までに出た目の積$X_1{X}_2\cdots X_n$を$T_n$で表す．$T_n$を$5$で割った余りが$1$である確率を$p_n$とし，余りが$2\text{，}3\text{，}4$のいずれかである確率を$q_n$とする．

(1)　$p_n+q_n$を求めよ．

(2)　$p_{n+1}$を$p_n$と$n$を用いて表せ．

(3)　$r_n={\left({\displaystyle \frac{6}{5}}\right)}^n{p}_n$とおいて$r_n$を求めることにより，$p_n$を$n$の式で表せ．