2014　大阪大学　前期専門数学MathJax

【１】　開区間$(a,b)$で定義された関数$f(x)$の原始関数の$1$つを$F(x)$とするとき，任意の原始関数は定数$C$を用いて

$F(x)+C$

と表すことができる．このことを平均値の定理を用いて証明せよ．

【２】　すべての素数を小さい順に並べた無限数列を

$p_1\text{，}{p}_2\text{，}\cdots \text{，}{p}_n\text{，}\cdots$

とする．

(1)　$n$を自然数とするとき

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{k}}<{\displaystyle \frac{1-{\left({\displaystyle \frac{1}{p_1}}\right)}^{n+1}}{1-{\displaystyle \frac{1}{p_1}}}}\times {\displaystyle \frac{1-{\left({\displaystyle \frac{1}{p_2}}\right)}^{n+1}}{1-{\displaystyle \frac{1}{p_2}}}}\times \cdots \times {\displaystyle \frac{1-{\left({\displaystyle \frac{1}{p_n}}\right)}^{n+1}}{1-{\displaystyle \frac{1}{p_n}}}}$

を証明せよ．

(2)　無限級数

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}\{-\log (1-{\displaystyle \frac{1}{p_k}}\left)\right\}$

は発散することを証明せよ．

(3)　無限級数

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{p_k}}$

は発散することを証明せよ．