2014　大阪教育大学　前期MathJax

2014-10565-0101

2014　大阪教育大学　前期

易□　並□　難□

【１】　 $α ， β$ は正の実数とする．次の条件によって定義される数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ について，以下の問に答えよ．

$a_{1} = α ， b_{1} = β ，$

$a_{n + 1} = α a_{n} - β b_{n} ， b_{n + 1} = β a_{n} + α b_{n} （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$

(1)　 $α^{2} + β^{2} ≦ 1$ が成り立つならば，任意の自然数 $n$ に対して ${a_{n}}^{2} + {b_{n}}^{2} ≦ 1$ が成り立つことを示せ．

(2)　 $α = \cos θ ， β = \sin θ (0 < θ < \frac{π}{2})$ と表されているとき， $a_{2} ， b_{2} ， a_{3} ， b_{3}$ を $θ$ を用いて表せ．

(3)　 $a_{12} = 1 ， b_{12} = 0$ となるような正の実数の組 $(α, β)$ を全て求めよ．

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【２】　座標平面上の原点を $O$ とし， $3$ 点 $A (0, 1) ， B (1, 1) ， C (1, 0)$ を考える． $x$ 軸上に点 $P$ をとり，線分 $AP$ の垂直二等分線を $l$ とする．点 $P$ を通り $x$ 軸に垂直な直線と $l$ との交点を $Q$ とする．

(1)　 $AQ = QP$ であることを証明せよ．

(2)　点 $P$ が $x$ 軸上を動くとき，点 $Q$ の軌跡はどのような曲線を描くか図示せよ．

(3)　点 $P$ は $x$ 軸の閉区間 $[0, 1]$ にあるとする．このとき，直線 $l$ が正方形 $ABCO$ を二つの部分に切る．そのうちの点 $C$ を含む部分の面積を $S$ とする． $S$ の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの点 $P$ の座標を求めよ．

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【３】　曲線 $y = \frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$ を $C$ とし，座標平面上の原点を $O$ とする．以下の問に答えよ．

(1)　曲線 $C$ の凹凸，変曲点，漸近線を調べ，その概形をかけ．

(2)　曲線 $C$ の接線で原点を通るものをすべて求めよ．また，その接点を求めよ．

(3)　 $P$ を原点を中心とする半径 $\frac{\sqrt{17}}{4}$ の円周上の点とする．点 $P$ を点 $A (0, \frac{\sqrt{17}}{4})$ から時計回りに動かすとき，原点以外に線分 $OP$ が始めて曲線 $C$ と共有点をもつとき，その座標を求めよ．

(4)　 $Q$ を原点を中心とする半径 $2$ の円周上の点とする．点 $Q$ を点 $B (0, 2)$ から時計回りに動かすとき，原点以外に線分 $OQ$ が始めて曲線 $C$ と共有点をもつとき，その座標を求めよ．

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【４】　以下の問に答えよ．

(1)　 $\sin (x + \frac{π}{4})$ を $\sin x$ と $\cos x$ を用いて表せ．

(2)　 $f (x) = \sin^{3} x$ の導関数を求めよ．

(3)　 $\int_{0}^{\frac{π}{6}} e^{3 x} \sin^{2} x \sin (x + \frac{π}{4}) d x$ を求めよ．

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