2014　神戸大学　前期MathJax

$c_n={\alpha }^n+{\beta }^n\text{，}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$

とおく．以下の問に答えよ．

(1)　$n$を$2$以上の自然数とするとき，

$c_{n+1}=c_n+c_{n-1}$

となることを示せ．

(2)　曲線$y=c_1{x}^3-c_3{x}^2-c_{2}x+c_4$の極値を求めよ．

(3)　曲線$y=c_1{x}^2-c_{3}x+c_2$と，$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

$a=n^2-m^2\text{，}b=2mn\text{，}c=n^2+m^2$

とおく．三辺の長さが$a\text{，}b\text{，}c$である三角形の内接円の半径を$r$とし，その三角形の面積を$S$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)　$a^2+b^2=c^2$を示せ．

(2)　$r$を$m\text{，}n$を用いて表せ．

(3)　$r$が素数のときに，$S$を$r$を用いて表せ．

(4)　$r$が素数のときに，$S$が$6$で割り切れることを示せ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$のとき，ベクトル

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}}$

が，平面$\alpha$と垂直であることを示せ．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　関数$y=f(x)$の極値を求めよ．

(3)　$b$を実数とするとき，$2$つの曲線$y=x{e}^x$と$y=x^2+ax+b$の$-1\leqq x\leqq 1$の範囲での共有点の個数を調べよ．

(1)　$n$が奇数のとき，$A$と$B$が等しくないことを示せ．

(2)　$n$が偶数のとき，$A$と$B$の差は偶数であることを示せ．

(3)　$n=4$のとき，$A$と$B$が等しい確率を求めよ．

(1)　$D$を$xy$平面上に図示せよ．

(2)　$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

(3)　$a+b=1$のとき，(2)で求めた$V$の最小値と，そのときの$a$の値を求めよ．