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2014 神戸大学 後期

理科系

配点30点

易□ 並□ 難□

【1】  2 つの関数

f( x)= 1 cosx g (x )=2 tanx ( -π 2<x < π2 )

を考え,曲線 y =f( x) y =g( x) の交点を ( a,b ) とするとき,以下の問に答えよ.

(1)  (a ,b) を求めよ.

(2) 曲線 y =f (x ) ( a,b ) における接線の方程式を求めよ.

(3) 次の定積分の値を求めよ.

0ax f( x) g( x) dx

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易□ 並□ 難□

【2】  a1 =5 a 2=1 5 an+2 =a n+1 +5a n n=1 2 3 で定められる数列 { an } について,

Tn = k= 1n ak 2

とおく.自然数 n に対して,以下の問に答えよ.

(1)  Tn =5 an an+ 1 を示せ.

(2)  an >0 を示せ.

(3)  an 5a n+1 を示せ.

(4)  5a n+1 26 an を示し, Tn 26 an2 を導け.

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【3】 直線 2 x-y +1=0 l とし, l と点 P ( -1,- 1) で垂直に交わる直線を m とする.このとき,以下の問に答えよ.

(1) 直線 m を表す方程式を求めよ.

(2) 一次変換 f によって,直線 l 上の点がすべて m 上に移り,かつ直線 m 上の点がすべて l 上に移るとする. f を表す行列を求めよ.

(3) 一次変換 f によって点 A が点 A に移されるとき,点 A を一次変換 f の不動点という.直線 m 上にあり,(2)で求めた一次変換 f の不動点となる点を求めよ.

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【4】  a b は実数, n は自然数とする.曲線 y =-x logx x> 0 上の点 P (t ,-t logt ) における接線を y =ax +b とするとき,以下の問に答えよ.

(1)  a b t を用いて表せ.

(2)  x>0 のとき,不等式

-x logx ax+ b

が成り立つことを示せ.

(3) 関数 g (t )=n t-log t-1 t >0 の範囲での最小値を求めよ.

(4)  n 個の正の実数 x1 x 2 xn が, i= 1n xi= 1 をみたすとする.このとき,

- i =1n xi log xi logn

を示せ.

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易□ 並□ 難□

【5】  0 と書いたカードが 1 枚, 1 と書いたカードが 3 枚, 2 と書いたカードが 3 枚,計 7 枚のカードが袋に入っている.このとき, A 君と B 君が次のルールにしたがい,袋から 1 枚ずつカードを引くゲームをする.ただし引いたカードは袋に戻さないとし,袋の中のカードがなくなればゲームは終了する.

[ア] 最初に A 君がカードを引く.

[イ]  0 以外のカードを引いた場合は,次のカードを相手が引く.

[ウ]  0 のカードを引いた場合は,次のカードを自分が引く.

A 君と B 君のそれぞれの得点は, 0 のカードを引かなかった場合は,引いたカードに書いてある数字の合計とする. 0 のカードを引いた場合は, 0 のカードを引くまでに引いたカードに書いてある数字の合計とする. A 君の得点を X B 君の得点を Y とするとき,以下の問に答えよ.

(1)  X=1 となる確率を求めよ.

(2)  X=2 となる確率を求めよ.

(3)  Y=5 となる確率を求めよ.

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