2014　鳥取大学　前期MathJax

(1)　$2^x+2^{-x}=t$とおいて$t$の満たす方程式を求めよ．

(2)　$t$の値を求めよ．

(3)　$x$の値を求めよ．

(1)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{P}$を通る円の中心の座標を$t$を用いて表せ．

(2)　$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通り，$x$軸の正の部分に接する円の方程式を求めよ．

(3)　$\angle \mathrm{APB}$の大きさを最大にする点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(1)　$t=\cos 2x$として$f(x)$を$t\text{，}a\text{，}b$を用いて表せ．

(2)　すべての実数$x$に対して不等式$-1\leqq f(x)\leqq 3$が成り立つような点$(a,b)$の範囲を図示せよ．

(ア)　$k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$に対して$i_{2k-1}<i_{2k}$

(イ)　$n\geqq 2$ならば$i_1<i_3<\cdots <i_{2n-1}$

たとえば$n=1$のとき条件(ア)を満たす順列は$[1,2]$のみであるから$f(1)=1$となる．

(1)　$f(2)\text{，}f(3)$を求めよ．

(2)　$n=2\text{，}3\text{，}\cdots$とするとき，$f(n)$と$f(n-1)$の間の関係式を求めよ．

(3)　$f(n)$を求めよ．

$A=\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)\text{，}R=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$

また$xy$平面内の相異なる$2$点${\mathrm{P}}_0(p_x,p_y)$および${\mathrm{Q}}_0(q_x,q_y)$を考える．$0$以上の整数$n$に対し，行列$A^n$の表す$1$次変換による点${\mathrm{P}}_0\text{，}{\mathrm{Q}}_0$の像をそれぞれ${\mathrm{P}}_n\text{，}{\mathrm{Q}}_n$とし，$2$点${\mathrm{P}}_n\text{，}{\mathrm{Q}}_n$間の距離を$D_n$とする．ただし$A^0$は単位行列とする．

(1)　$D_0$を$p_x\text{，}{p}_y\text{，}{q}_x\text{，}{q}_y$を用いて表せ．

(2)　正の実数$s$に対して，$sR=A$が成り立つとき，$s$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(3)　$D_n$と$D_0$の比${\displaystyle \frac{D_n}{D_0}}$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(1)　$B(p,q)=B(q,p)$が成り立つことを示せ．

(2)　関係式

$B(p,q+1)={\displaystyle \frac{q}{p}}B(p+1,q)$

$B(p+1,q)+B(p,q+1)=B(p,q)$

が成り立つことを示せ．

(3)　関係式

$B(p+1,q)={\displaystyle \frac{p}{p+q}}B(p,q)$

$B(p,q+1)={\displaystyle \frac{q}{p+q}}B(p,q)$

が成り立つことを示せ．

(4)　$B(5,4)$を求めよ．

${\displaystyle \frac{x^2}{{(\cos \theta +2)}^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{{(\sin \theta +3)}^2}}=1$

を満たす第$1$象限内の点で，積$xy$の値を最大にする点を$\mathrm{P}(\theta )$とする．

(1)　$\mathrm{P}(0)$の座標を求めよ．

(2)　$\mathrm{P}(\theta )(0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$の軌跡の方程式を求めよ．

(1)　$B(p,q)=B(q,p)$が成り立つことを示せ．

　関係式

$B(p+1,q)={\displaystyle \frac{p}{p+q}}B(p,q)$

$B(p,q+1)={\displaystyle \frac{q}{p+q}}B(p,q)$

が成り立つことを示せ．

(4)　$B(5,4)$を求めよ．

(1)　直線$l$の方程式を求めよ．

(2)　$t$が$0<t<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲にあるとき，直線$l$に直交し，楕円$C$上の点$\mathrm{Q}(a\cos \theta ,b\sin \theta )\text{（}0<\theta <\pi \text{）}$で$C$に接する直線を$m$とする．接点$\mathrm{Q}$の座標を$a\text{，}b\text{，}t$を用いて表し，直線$m$の方程式を求めよ．

(3)　$t$が$0<t<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲にあるとき，直線$l$と(2)で求めた直線$m$との交点を$\mathrm{R}$とする．線分$\mathrm{OR}$の長さを求めよ．ただし$\mathrm{O}$は原点とする．