2014　島根大学　後期総合理工学部MathJax

$\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{DAC}=45\mathrm{°}\text{，}\angle \mathrm{ACB}=\angle \mathrm{ACD}=60\mathrm{°}\text{，}\mathrm{AB}=\mathrm{BD}=2$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　辺$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．

(2)　辺$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{AC}$上を動くとき，$▵\mathrm{PBD}$の面積の最小値と最大値を求めよ．

$x_1=1\text{，}{x}_{n+1}={\displaystyle \frac{r{x}_n}{1+x_n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$y_n={\displaystyle \frac{1}{x_n}}$とするとき，$y_{n+1}$を$y_n$を用いて表せ．

(2)　$\{x_n\}$が$0$に収束するための$r$の範囲を求めよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$を求めよ．

(1)　$a>0$とする．このとき，関数

$y=e^x-ax$

の最小値を$a$を用いて表せ．

(2)　$a>0$とする．このとき，直線$y=ax+b$と曲線$y=e^x$の共有点の個数が$1$個以下となるための$a\text{，}b$の条件を求めよ．また，この条件をみたす点$(a,b)$全体の領域を図示せよ．

(3)　$0<t<1$とする．(2)で求めた条件と$b\geqq 0$および$a\geqq t$をみたす点$(a,b)$全体の領域の面積を$S_t$とする．このとき，$\underset{t\to +0}{\lim }{S}_t$を求めよ．

(1)　$P^{-1}AP$を求めよ．

(2)　自然数$n$に対して，$P^{-1}{A}^n$を求めよ．

(3)　$A$の表す移動によって，座標平面上の点$(0,\sqrt{2})$が移る点を${\mathrm{Q}}_1$とし，点${\mathrm{Q}}_1$が移る点を${\mathrm{Q}}_2$とする．以下同様に，$n=3\text{，}4\text{，}\cdots$に対して，$A$の表す移動によって点${\mathrm{Q}}_{n-1}$が移る点を${\mathrm{Q}}_n$とする．次に，点${\mathrm{Q}}_n$から直線$y=x$に垂線を引き，その交点を${\mathrm{R}}_n$とする．このとき，$▵{\mathrm{OQ}}_n{\mathrm{R}}_n$の面積が$n$によらず一定となるような$t$の値を求めよ．ただし，$\mathrm{O}$は座標平面の原点を表す．