2014　島根大学　推薦I総合理工（数理・情報システム）学部数理MathJax

(1)　$\mathrm{BC}=\sin \alpha$であることを証明せよ．

(2)　$\mathrm{BP}=\sin \alpha \cos \beta$であることを証明せよ．

(3)　$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha$であることを証明せよ．

${\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}=f^{\prime }(c)$

となる点$c$が区間$(a,b)$内に少なくとも$1$つある．これを平均値の定理という．次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)=x^3+2x^2+3x-1$を区間$[0,3]$で考えるとき，平均値の定理をみたすような$c$を求めよ．

(2)　閉区間$[a,b]$で連続で，開区間$(a,b)$で微分可能な関数$f(x)$に対して，$f(x)$が区間$[a,b]$で定数であることの必要十分条件は，$(a,b)$でつねに$f^{\prime }(x)=0$であることを証明せよ．

(3)　「関数$f(x)$が閉区間$[a,b]$で連続で，$1$点$p\text{（}a<p<b\text{）}$を除く開区間$(a,b)$のすべての点で微分可能ならば

${\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}=f^{\prime }(c)$

となる点$c\ne p$が区間$(a,b)$内に少なくとも$1$つある．」という命題が正しくないことを示したい．関数

$f(x)=\{\begin{array}{ll}-x+1& \text{（}0\leqq x\leqq 1\text{のとき）}\\ 2x-2& \text{（}1\leqq x\leqq 2\text{のとき）}\end{array}$

を調べることによって，上の命題が正しくないことを示せ．

$f(x)=ax-\log (x+1)$

と定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の定義域を求めよ．

(2)　$y=f(x)$のグラフの概形を描け．

(3)　$k$を実数とする．$f(k)=0$が成り立つときの$a$の値を$k$を用いて表せ．

(4)　$a=\log 2$のとき，曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる図形の面積$S$を求めよ．

$a_n=1+2+\cdots +n$

とおく．また，$b_n=2n-1$を$n$番目の奇数と呼ぶことにする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_n={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}$であることを数学的帰納法により証明せよ．

(2)　$1$番目から$n$番目までの奇数の和を求めよ．

(3)　$a_n+1$番目から$a_{n+1}$番目までの奇数の和を求めよ．

(4)　(1)，(2)，(3)の結果を用いて$1^3+2^3+\cdots +n^3$を求めよ．