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2014-10701-0101
2014 岡山大学 前期
数学I・数学II・数学A・数学B
易□ 並□ 難□
【1】 数列 { an } が
{ a1 =1 a n+1 -an =an ⁢(5 -an +1 ) ( n=1 ,2 ,3 ,⋯ )
を満たしているとき,以下の問いに答えよ.
(1) n に関する数学的帰納法で, an >0 であることを証明せよ.
(2) bn =1 an とおくとき, bn+ 1 を b n を用いて表せ.
(3) an を求めよ.
2014-10701-0102
【2】 四面体 OABC において, AB の中点を P , PC の中点を Q ,OQ を m:n に内分する点を R とする.ただし, m>0 , n>0 とする.さらに直線 AR が平面 OBC と交わる点を S とする. a→ =OA→ , b→ =OB→ , c→ =OC→ とおいて以下の問いに答えよ.
(1) OP→ ,OQ → を a→ , b→ , c→ を用いて表せ.
(2) OR→ , OS→ を a→ ,b → ,c → ,m , n を用いて表せ.
(3) AR RS を m , n を用いて表せ.
2014-10701-0103
【3】 関数 f ⁡(x ) を
f⁡( x)= [x] +2⁢( x-[ x]) -(x -[x ]) 2
と定める.ここで, [x ] は n ≦x を満たす最大の整数 n を表す.
(1) f⁡( x)≧ x であることを示せ.
(2) f⁡( x+1) =f⁡( x)+ 1 であることを示せ.
(3) 0≦x ≦2 において y =f⁡( x) のグラフを描け.
(4) 0≦a <1 とするとき, ∫ aa+1 f⁡ (x )⁢d x を求めよ.
2014-10701-0104
【4】 A と B が続けて試合を行い,先に 3 勝した方が優勝するというゲームを考える. 1 試合ごとに A が勝つ確率を p , B が勝つ確率を q , 引き分ける確率を 1 -p-q とする.
(1) 3 試合目で優勝が決まる確率を求めよ.
(2) 5 試合目で優勝が決まる確率を求めよ.
(3) p=q= 13 としたとき, 5 試合目が終了した時点でまだ優勝が決まらない確率を求めよ.
(4) p=q= 12 としたとき,優勝が決まるまでに行われる試合数の期待値を求めよ.
2014-10701-0105
数学I・数学II・数学III・数学A・数学B・数学C
【1】 n を 3 以上の整数とし, a , b ,c は 1 以上 n 以下の整数とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) a<b <c となる a , b ,c の組は何通りあるか.
(2) a≦b ≦c となる a , b ,c の組は何通りあるか.
(3) a<b かつ a ≦c となる a , b ,c の組は何通りあるか.
2014-10701-0106
【2】(1) すべての実数 x , y に対して x2+ y2+2 ⁢a⁢x ⁢y+2 ⁢b⁢x +1≧0 が成り立つとする.このとき,実数 a , b が満たすべき条件を求め,その条件を満たす点 ( a,b ) のなす領域を座標平面上に図示せよ.
(2) (1)の領域を点 ( a,b ) が動くとき a2+ b の最大値と最小値を求めよ.
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【3】 座標平面において,行列 A =( 10 23 ) の表す一次変換を f とする.
(1) 0≦θ <2⁢π のとき,点 P ( 2+cos⁡ θ,sin⁡ θ) を f で移した点 Q の座標を求めよ.
(2) 不等式 a1≦ x≦a2 , b1 ≦y≦ b2 の表す領域を T とする. 0≦θ <2⁢π を満たすすべての θ に対して,(1)で求めた点 Q が領域 T に入るとする. T の面積が最小となるときの a1 ,a 2 ,b 1 ,b2 を求めよ.
(3) 不等式 (x -2) 2+ (y -4) 2≦ r2 の表す領域を H とする. 0≦θ <2⁢ π を満たすすべての θ に対して,(1)で求めた点 Q が領域 H に入るとする.このとき,正の数 r の最小値を求めよ.
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【4】 三角形 ABC において, AB=BC= 2 ,CA =1 とする. 0≦x ≦1 を満たす x に対して,辺 BC の延長上に点 P を,辺 CA 上に点 Q を,それぞれ CP =AQ=x となるようにとる.さらに,直線 PQ と辺 AB の交点を R とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) AR を x の関数として表せ.
(2) (1)の関数を f ⁡(x ) とおくとき, ∫ 01 f⁡( x)⁢ dx を求めよ.