2014　広島大学　前期MathJax

【１】　座標平面上で，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C$とする．$C$の外部にある点$\mathrm{P}(a,b)$から$C$にひいた$2$本の接線と$C$との接点を$\mathrm{H}\text{，}{\mathrm{H}}^{\prime }$とする．$\angle \mathrm{OPH}=\theta$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{PH}$の長さ，および$\sin \theta$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{H}{\mathrm{H}}^{\prime }=\mathrm{OP}$となるような点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

【２】　$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3$は定数で，$a_1>0$とする．放物線$C\text{：}y=a_1{x}^2+a_{2}x+a_3$上の点$\mathrm{P}(2,4a_1+2a_2+a_3)$における接線を$l$とし，$l$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}(q,0)\text{，}l$と$y$軸との交点を$\mathrm{R}(0,a_4)$とする．$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4$がこの順に等差数列であるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4$を$a_1$を用いて表せ．

(2)　$q$の値を求めよ．

(3)　放物線$C\text{，}$接線$l\text{，}$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S$とする．$S=q$となるとき，$a_1$を求めよ．

【３】　四面体$\mathrm{OABC}$において，$▵\mathrm{OAB}$の重心を$\mathrm{F}\text{，}▵\mathrm{OAC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{FG}}⫽\overrightarrow{\mathrm{BC}}$であることを示せ．

(3)　$\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1\text{，}\angle \mathrm{BOC}=90\mathrm{°}$のとき，$\mathrm{FG}$の長さを求めよ．

【４】　$\alpha >1$とする．数列$\{a_n\}$を

$a_1=\alpha \text{，}{a}_{n+1}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2a_n}{a_n+1}}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．次の不等式が成り立つことを証明せよ．

(1)　$a_n>1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(2)　$\sqrt{x}-1\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}(x-1)$（ただし，$x>1$とする）

(3)　$a_n-1\leqq {\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^{n-1}(\alpha -1)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

【５】　正六角形の頂点を反時計回りに${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3\text{，}{\mathrm{P}}_4\text{，}{\mathrm{P}}_5\text{，}{\mathrm{P}}_6$とする．$1$個のさいころを$2$回投げて，出た目を順に$j\text{，}k$とする．次の問いに答えよ．

(1)　${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_j\text{，}{\mathrm{P}}_k$が異なる$3$点となる確率を求めよ．

(2)　${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_j\text{，}{\mathrm{P}}_k$が正三角形の$3$頂点となる確率を求めよ．

(3)　${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_j\text{，}{\mathrm{P}}_k$が直角三角形の$3$頂点となる確率を求めよ．

【１】　$a\text{，}b$を実数，$a>0$として，行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& 2\\ -2& b\end{array}\right)$の定める$1$次変換を$f$とする．$f$によって，点$\mathrm{P}(1,0)$が点${\mathrm{P}}_1$に移され，点${\mathrm{P}}_1$が点${\mathrm{P}}_2$に移されるものとする．$\mathrm{P}$が線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$の中点であるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}b$を求めよ．

(2)　ある実数$c$に対して$c\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1}=(v_1,v_2)$とすると，

$A\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)$

が成り立つ．$c$を求めよ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{P}{\mathrm{P}}_1}=(w_1,w_2)$とする．すべての自然数$n$に対して

$A^n\left(\begin{array}{c}{w}_1\\ w_2\end{array}\right)={(-2)}^n\left(\begin{array}{c}{w}_1\\ w_2\end{array}\right)$

が成り立つことを，数学的帰納法によって証明せよ．

(4)　(2)と(3)の$v_1\text{，}{v}_2\text{，}{w}_1\text{，}{w}_2$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s(v_1,v_2)+t(w_1,w_2)$となる実数$s\text{，}t$を求め，$A^n\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$を$n$を用いて表せ．ただし，$n$は自然数である．

【２】　二つの関数$f(x)=x\sin x\text{，}g(x)=\sqrt{3}x\cos x$について次の問いに答えよ．ただし，(3)と(4)において，$a$および$h(x)$は(2)で定めたものとする．

(1)　$2$曲線$y=f(x)\text{，}y=g(x)$の共有点のうち，$x$座標が$-\pi \leqq x\leqq \pi$であるものをすべて求めよ．

(2)　(1)で求めた共有点のうち，$x$座標が正である点を$\mathrm{A}(a,f(a))$とする．点$\mathrm{A}$における曲線$y=g(x)$の接線を$y=h(x)$と表す．$h(x)$を求めよ．

(3)　$0\leqq x\leqq a$のとき，$h(x)\geqq g(x)$であることを示せ．

(4)　$0\leqq x\leqq a$の範囲において，$y$軸，曲線$y=g(x)\text{，}$および直線$y=h(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【３】　四面体$\mathrm{OABC}$において$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=OC=\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=1$とする．$▵\mathrm{OAB}$の重心を$\mathrm{F}\text{，}▵\mathrm{OAC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}$とする．また，$\angle \mathrm{BOC}=2\theta$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{FG}}⫽\overrightarrow{\mathrm{BC}}$であることを示せ．

(3)　$▵\mathrm{MBC}$の面積を$\theta$を用いて表せ．

【４】　$\alpha >1$とする．数列$\{a_n\}$を

$a_1=\alpha \text{，}{a}_{n+1}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2a_n}{a_n+1}}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．次の不等式が成り立つことを証明せよ．

(1)　$a_n>1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(2)　$\sqrt{x}-1\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}(x-1)$（ただし，$x\geqq 0$とする．）

(3)　$a_n-1\leqq {\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^{n-1}(\alpha -1)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

【５】　$1$辺の長さが$1$の正六角形において，頂点を反時計回りに${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3\text{，}{\mathrm{P}}_4\text{，}{\mathrm{P}}_5\text{，}{\mathrm{P}}_6$とする．$1$個のさいころを$2$回投げて，出た目を順に$j\text{，}k$とする．${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_j\text{，}{\mathrm{P}}_k$が異なる$3$点となるとき，この$3$点を頂点とする三角形の面積を$S$とする．${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_j\text{，}{\mathrm{P}}_k$が異なる$3$点とならないときは，$S=0$と定める．次の問いに答えよ．

(1)　$S>0$となる確率を求めよ．

(2)　$S$が最大となる確率を求めよ．

(3)　$S$の期待値を求めよ．