2014 広島大学 理学部数学科AO入試MathJax

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2014 広島大学 後期

理学部数学科AO入試

易□ 並□ 難□

【1】 実数 θ - πθ π の範囲を動くものとする.定数 α 0 α< π の範囲にとるとき, cosθ +cos (θ +α ) の最大値およびその最大値を与える θ の値をそれぞれ α を用いて表せ.

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【2】  a を定数とする. xy 平面上の点 P の座標を ( s,t ) とする. y 軸に関して P と対称の位置にある点を Q とする. O x y 平面の原点とする.点 P が等式 OP OQ = a を満たして動くとき,以下の問いに答えよ.

(1)  Q の座標を s t を用いて表せ.

(2) 線分 OP の長さが取り得る範囲を求めよ.

(3)  P O と異なるとする. POQ の値が取り得る範囲を求めよ.

(4)  OPQ が正三角形となるときがあるような a の条件を求め,そのときの P の座標を求めよ.

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【3】 関数 f ( x)= xe -x x 0 の範囲で考える.以下の問いに答えよ.

(1)  f (x ) f (x ) を求め,関数 y =f (x ) のグラフの外形を描け.ただし limx + f( x) =0 は既知としてよい.

(2) 点 P ( t,f (t ) ) におけるグラフの接線が x 軸と交わる点を Q とする. Q の座標を求めよ.ただし t>1 とする(以下の問いにおいても同様).

(3) 線分 OQ の長さの最小値を求めよ.ただし O は原点である.

(4) 線分 OQ の長さが最小になるとき,線分 OQ 線分 PQ および y =f (x ) のグラフで囲まれる図形の面積 S を求めよ.

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【4】  a b は正の定数とし, xy 平面上の放物線 P y=a x2 -b x 軸の交点を A ( α,0 ) B ( β,0 ) α <β とする.線分 AB 1 :2 に内分する点が (- 1 3 ,0 ) であるとき,以下の問いに答えよ.

(1)  α β を求めよ.また, a b を用いて表せ.

(2) 放物線 P と円 C x2 +( y+ b2 )2 = ( b 2 )2 の共有点の個数を求めよ.

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【5】 サイコロを最大で n 回投げ,最後に出た目を得点とするゲームを考える.ただし ( n-1 ) 投目までは,出た目を見てから,次を投げるかそこでストップするかを決めることができるとする.以下の問いに答えよ.

(1)  n=1 のとき,このゲームは単に 1 回サイコロを投げ,出た目を得点とするゲームとなる.このときの得点の期待値 E 1 を求めよ.

(2)  n=2 のとき,最適な(得点の期待値を最大化する)戦略はどのようなものか.また,その戦略をとったときの得点の期待値 E 2 を求めよ.

(3)  n=3 のとき,最適な戦略はどのようなものか.また,その戦略をとったときの得点の期待値 E 3 を求めよ.

(4) 第 1 投目で 5 が出たとき,そこでストップせずに第 2 投目にトライする方が有利になるのは, n がいくら以上のときか.

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