2014　広島大学　AO理学部物理学科MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．解答用紙にはその導き方も記述せよ．

問１　次の微分積分に関する問いに答えよ．

(1)　関数$y={\displaystyle \frac{x^2-3x-6}{\sqrt{x+1}}}\text{（}x>-1\text{）}$を微分せよ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^a}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}}dx$を求めよ．ただし，$a$は正の定数とする．

【１】　以下の問いに答えよ．解答用紙にはその導き方も記述せよ．

問２　$2$次曲線$x^2-4x+y^2+3=0$について以下の問いに答えよ．

(1)　この曲線の種類は，円，楕円，双曲線，放物線のうちどれであるかを答えよ．また，曲線の形状を図示せよ．$x$軸，$y$軸との交点の座標も示せ．

(2)　この曲線と直線$y=ax$が交わるための，$a$の範囲を求めよ．

(3)　この曲線と直線$y=ax$が交わって$2$つの交点ができるとき，$2$つの交点の中点の座標を求めよ．

(4)　直線の傾き$a$を変化させたとき，曲線と直線の$2$つの交点の中点が描く軌跡を求めて図示せよ．

【１】　以下の問いに答えよ．解答用紙にはその導き方も記述せよ．

問３　$xy$座標平面上に点$\mathrm{A}(3,0)$と点$\mathrm{B}(1,5)$がある．原点を$\mathrm{O}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　線分$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$線分$\mathrm{OB}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．線分$\mathrm{AN}$と線分$\mathrm{BM}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，点$\mathrm{O}$に関する点$\mathrm{P}$の位置ベクトル$\overrightarrow{p}$を点$\mathrm{A}$の位置ベクトル$\overrightarrow{a}$と点$\mathrm{B}$の位置ベクトル$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{B}$を通り，ベクトル$\overrightarrow{b}$に垂直な直線$l$と点$\mathrm{A}$との距離を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．解答用紙にはその導き方も記述せよ．

問４　行列$A=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 1\end{array}\right)$と$X=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$が，関係式$AX=XA$と$ad-bc=1$を満たすとき，負でない実数$a\text{，}c\text{，}d$を求めよ．