2014　山口大学　前期MathJax

【１】　$k$を正の実数とする．座標平面において，方程式$y=-x^2-2x-1$が表す放物線$C_1$および方程式$y=k{x}^2$が表す放物線$C_2$がある．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　放物線$C_1$の接線であり，$C_2$の接線でもあるような直線は$2$つある．この$2$つの直線の方程式を求めなさい．

(2)　(1)で求めた$2$つの直線の交点を$\mathrm{P}$とする．$k$が正の実数の範囲を動くときの$\mathrm{P}$の軌跡を求め，図示しなさい．

【２】　$▵\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{C}$とし，$\mathrm{OA}=7\text{，}\mathrm{OB}=6\text{，}\mathrm{OC}=5$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて$\overrightarrow{c}$を表しなさい．

(2)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を求めなさい．

(3)　$▵\mathrm{OAB}$の面積を求めなさい．

【３】　次の問いに答えなさい．

(1)　$2$つの整数$a\text{，}b$が$1+\sqrt{2}=a+b\sqrt{2}$を満たすならば，$a=b=1$であることを示しなさい．ただし，$\sqrt{2}$が無理数であることは示さなくてよい．

(2)　$k$を自然数とする．$2$つの整数$a\text{，}b$が${(1+\sqrt{2})}^{k+1}=a+b\sqrt{2}$を満たしているとき，${(1+\sqrt{2})}^k=a^{\prime }+b^{\prime }\sqrt{2}$を満たす整数$a^{\prime }\text{，}{b}^{\prime }$を$a\text{，}b$を用いて表しなさい．

(3)　すべての自然数$n$に対して，

命題「$2$つの整数$a\text{，}b$が${(1+\sqrt{2})}^n=a+b\sqrt{2}$を満たしているならば，${(1-\sqrt{2})}^n=a-b\sqrt{2}$である」

が成り立つことを数学的帰納法を用いて示しなさい．

【４】　座標平面において，点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}$点$\mathrm{A}(1,1)$がある．方程式$y=-ax+2a+2$が表す直線を$l$とするとき，次の問いに答えなさい．ただし，$a$は正の実数とする．

(1)　直線$l$に関して点$\mathrm{A}$と対称な点を${\mathrm{A}}^{\prime }$とする．${\mathrm{A}}^{\prime }$の座標を求めなさい．

(2)　点$\mathrm{P}$が直線$l$上を動くときの$\mathrm{OP}+\mathrm{PA}$の最小値を，$a$を用いて表しなさい．

(3)　(2)で求めた$\mathrm{OP}+\mathrm{PA}$の最小値を$f(a)$とするとき，$f(a)$を最大にするような$a$の値を求めなさい．

【１】　一般項が$a_n=\tan {\displaystyle \frac{\pi }{2^{n+1}}}$で与えられる数列$\{a_n\}$について，次の問いに答えなさい．

(1)　正接の$2$倍角の公式

$\tan 2\theta ={\displaystyle \frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }}$

を用いて，数列$\{a_n\}$の漸化式を求めなさい．

(2)　極限値

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}$

を求めなさい．

【２】　図のように，円柱$E$と直円錐$F$が半径$1$の球に内接しており，さらに$E$と$F$の底面は一致している．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　円柱$E$の高さを$h$とするとき，円柱$E$の底面の半径と直円錐$F$の高さを，それぞれ$h$を用いて表しなさい．

(2)　半径$1$の球に内接する円柱の体積の最大値を求めなさい．

(3)　円柱$E$の体積と直円錐$F$の体積が等しいとする．円柱$E$から直円錐$F$が重なっている部分をくり抜いたとき，くり抜かれて残った立体の体積を求めなさい．

【３】　$a\text{，}b$を実数とする．行列

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& a\end{array}\right)$

について，次の問いに答えなさい．

(1)　すべての自然数$n$に対して，

$A^n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\\ b_n& a_n\end{array}\right)$

となる実数$a_n\text{，}{b}_n$があることを数学的帰納法で示し，$a_n\text{，}{b}_n$を用いて$a_{n+1}\text{，}{b}_{n+1}$を表しなさい．

(2)　$c_n=a_n+b_n\text{，}{d}_n=a_n-b_n$とおく．数列$\{c_n\}$の漸化式と数列$\{d_n\}$の漸化式をそれぞれ求め，$a\text{，}b\text{，}n$を用いて$c_n\text{，}{d}_n$を表しなさい．

(3)　$a\text{，}b\text{，}n$を用いて$a_n\text{，}{b}_n$を表しなさい．

【４】　関数

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}|(t-1)(t-2)|dt-|{\displaystyle {\int }_0^x}(t-1)(t-2)dt|$

に対して，$y=f(x)\text{（}x>0\text{）}$のグラフをかきなさい．ただし，グラフの凹凸は調べなくてよい．

【２】　座標平面において，方程式${\displaystyle \frac{x^2}{9}}-{\displaystyle \frac{y^2}{4}}=1$が表す双曲線$C$と点$\mathrm{P}(a,0)$がある．ただし，$a>3$とする．点$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線と双曲線$C$との交点の一つである点$\mathrm{Q}(a,b)$をとる．ただし，$b>0$とする．さらに，点$\mathrm{Q}$における双曲線$C$の接線$l$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}(c,0)$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$a$を用いて$b$を表しなさい．

(2)　$a$を用いて接線$l$の方程式を表しなさい．

(3)　$a$を用いて$c$を表しなさい．

(4)　極限値

$\underset{a\to \infty }{\mathrm{limn}}{\displaystyle \frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{PR}}}$

を求めなさい．

【３】　四面体$\mathrm{ABCD}$において，

$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\mathrm{AD}=1\text{，}\mathrm{BC}=\sqrt{3}\text{，}\angle \mathrm{BDC}=\theta$

のとき，次の問いに答えなさい．ただし，${\displaystyle \frac{\pi }{3}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

(1)　点$\mathrm{A}$から$▵\mathrm{BCD}$を含む平面に垂線を下ろし，その平面との交点を$\mathrm{H}$とする．線分$\mathrm{AH}\text{，}\mathrm{BH}\text{，}\mathrm{CH}\text{，}\mathrm{DH}$の長さを，それぞれ$\theta$を用いて表しなさい．

(2)　$t=\cos \theta$とする．$\theta$を一定の値に保ったまま点$\mathrm{D}$が動くときの四面体$\mathrm{ABCD}$の体積の最大値を，$t$を用いて表しなさい．

(3)　(2)で求めた四面体$\mathrm{ABCD}$の体積の最大値を$V(t)$とする．${\displaystyle \frac{\pi }{3}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で$\theta$が動くときの$V(t)$の最大値を求めなさい．ただし，$V(t)$が最大値をとるときの$\theta$の値は求めなくてよい．