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2014 徳島大学 後期総合科学(理系),工学部

易□ 並□ 難□

【1】  a b を実数とし, a>0 とする.行列 A =( a2 (a -b) a- bb ) に対して次の問いに答えよ.ただし, E は単位行列とする.

(1)  A2 を求めよ.

(2)  a=b のとき, A2 =2E を満たす行列 A を求めよ.

(3)  ab のとき, A2 =2E を満たす行列 A を求めよ.また,この行列の逆行列 A -1 を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【2】 座標平面上の放物線 y =1 4 x 2 C とする. x 軸の下側にある点 P ( s,t ) から C に引いた 2 本の接線を l1 l2 とし,接点をそれぞれ Q1 Q 2 とする.ただし, Q1 は第 1 象限, Q2 は第 2 象限にあるとする.

(1)  l1 l2 の傾きをそれぞれ m1 m 2 とする. m1 および m 2 s t の式で表せ.

(2)  l1 l 2 が垂直となる点 P の軌跡を求めよ.

(3)  Q 1PQ2 =θ 0< θ<π とする. l1 l 2 が垂直でないとき, tanθ s t の式で表せ.

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易□ 並□ 難□

【3】 関数 f (x )=- x+2- x2 -2< x2 に対して次の問いに答えよ.

(1) 導関数 f ( x) を求めよ.

(2)  f( x) の最大値と最小値を求めよ.

(3) 曲線 y =f( x) と直線 y =-x で囲まれた部分の面積を求めよ.

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