2014　鳴門教育大学　前期MathJax

【１】　$a<{\displaystyle \frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}}<a+1$をみたす自然数$a$に対し，次の問いに答えなさい．

(1)　$a$を求めなさい．

(2)　$10({\displaystyle \frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}}-a)$の整数部分を求めなさい．

【２】　$4$人乗りと$5$人乗りの自動車があります．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$の$6$人が，これら$2$台の自動車に分乗してドライブに行きます．ただし，座席は区別しないものとし，運転できる人が$2$人以上乗る場合，誰が運転するかは区別しないものとします．次の場合，分乗する方法はそれぞれ何通りあるか答えなさい．

(1)　$6$人全員が自動車を運転できる．

(2)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の$3$人のみが自動車を運転できる．

【３】　$▵\mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}\text{，}$外心を$\mathrm{O}\text{，}$内接円の半径を$r\text{，}$外接円の半径を$R$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$\mathrm{I}$と$\mathrm{O}$が一致するとき，$R=2r$となることを証明しなさい．

(2)　$\angle \mathrm{ABC}$と$\angle \mathrm{ACB}$がともに$60\mathrm{°}$より小さいとき，$\mathrm{BC}>2\sqrt{3}r$となることを証明しなさい．

【４】　$2$次関数$y=2x^2-(3k+1)x+k+5\text{，}$および$y=-x^2+(k+2)x+k-1$で表されるグラフを，それぞれ$C_1\text{，}{C}_2$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$C_1\text{，}{C}_2$が$2$つの異なる交点をもつような定数$k$の値の範囲を求めなさい．また，$k$がその範囲にあるとき，$2$つの交点を結ぶ線分の中点の$x$座標を求めなさい．

(2)　$C_1\text{，}{C}_2$が$2$つの異なる交点をもち，これら$2$つの交点を通る直線の傾きが$3$となるときの$k$の値を求めなさい．