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2014-10781-0101
2014 香川大学 前期
法,教育,工,農学部
易□ 並□ 難□
【1】 1 辺の長さが 1 の正六角形 ABCDEF において, a→ =AB→ , b→ =AF→ と定める.このとき,次の問に答えよ.
1. AC→ , AD→ , AE→ を a→ , b→ で表せ,
2. 辺 CD 上に点 G を,辺 DE 上に点 H をとり,線分 AG と AH で正六角矩形の面積を 3 等分する.このとき, AG→ と AH → を a→ , b→ で表せ.
3. AG→ と AH → のなす角を θ とするとき, cos⁡θ の値を求めよ.
2014-10781-0102
【2】 座標平面の原点を O とし,点 A を第 1 象限に,点 B を x 軸の正の部分に, AO=AB =1 となるようにとる.このとき,次の問に答えよ.
1. 二等辺三角形 AOB の底角を θ とするとき,頂点 A ,B の座標を θ を用いて表せ.
2. 3 点 O ,A , B を通る放物線を C :y=f ⁡(x ) とする.このとき, f⁡( x) を求めよ.
3. 放物線 C と x 軸で囲まれた図形の面積 S を求めよ.
4. 面積 S の最大値と,そのときの θ の値を求めよ.
2014-10781-0103
【3】 自然数 n に対して,座標平面上の点 Pn を次のように帰納的に定める.点 P1 の座標を ( 1,1 ) とし,原点 O を中心として線分 OP n を反時計回りに 90 ⁢° 回転させてできる線分を OQ n とし,線分 OQ n の中点を Pn +1 とする.このとき,次の問に答えよ.
1. 点 P2 , P 3 , P4 , P 5 の座標を求めよ.
2. k を自然数とするとき,点 P4 ⁢k+1 の座標を k を用いて表せ.
3. 点 Xn を OXn→ =OP 1→ +OP2 →+ ⋯+ OPn→ となるように定める.このとき,点 X2 , X 3 , X4 , X 5 の座標を求めよ.また,線分 OX1 , X1 X2 , X 2X 3 , X3 X4 , X 4X 5 を座標平面上に図示せよ.
4. k を自然数とするとき,点 X4 ⁢k の座標を k を用いて表せ.
2014-10781-0104
法,教育,農学部
【4】 曲線 C1: y=x3 -2⁢ x2 ,C 2:y =x2 +a⁢x +1 について,次の問に答えよ.
1. 曲線 C 1 の概形をかけ.
2. 曲線 C 1 と x 軸の共有点で原点と異なるものを P とする.点 P における C 1 の接線 l の方程式を求めよ.
3. 2.で求めた直線 l が曲線 C 2 の接線となるような a の値をすべて求めよ.
4. a が3.で求めた値のうち最小の値をとるとき,曲線 C 2 と直線 l および y 軸で囲まれた図形の面積を求めよ.
2014-10781-0105
教育,農学部
【5】 曲線
C1 :y=tan ⁡x ( 0≦x< π 2) ,
C2 :y=cos ⁡x (0≦ x< π2 )
について,次の問に答えよ.
1. 2 曲線 C1 ,C2 の共有点の x 座標を a とするとき, sin⁡x の値を求めよ.
2. 曲線 C1 ,C 2 と y 軸で囲まれた図形の面積を求めよ.
2014-10781-0106
工,医学部
医学部は【1】
【4】 関数 f ⁡(x )=x ⁢e2 -x について,次の問に答えよ.
1. 曲線 C :y=f ⁡(x ) の概形をかけ.
2. 曲線 C の接線のうち傾きが最小のものを l とするとき, l の方程式を求めよ.
3. 曲線 C と直線 l および y 軸で囲まれた図形の面積を求めよ.
2014-10781-0107
医学部
【2】 行列 A =( 0-1 2 3 ) について,次の問に答えよ.ただし, E=( 1 00 1 ) とする.
1. A2 -3⁢A +2⁢E を求めよ.
2. 自然数 n に対して, E+A+ A2+ ⋯+A n=a n⁢A +bn ⁢E となる実数 an ,bn をそれぞれ n を用いて表せ.
2014-10781-0108
【3】 一辺の長さが x の正三角形 ABC を底面,点 O を頂点とし, OA=OB =OC である三角 錐すい OABC に半径 1 の球が内接しているとする.ただし,球が三角錐に内接するとは,球が三角錐のすべての面に接することである.このとき,次の問に答えよ.
1. 三角錐 OABC の体積を x を用いて表せ.
2. この体積の最小値と,そのときの x の値を求めよ.
2014-10781-0109
【4】 0<r< R とし,半径 R の円に半径 r の小円をいくつか外接させる.ただし,小円どうしは接するか互いに交わらないものとする(図参照).このときの小円の個数の最大値を n としたとき,次の問に答えよ.必要ならば,次の数表を用いてよい.
1. R=3⁢ r のとき, n を求めよ.
2. n≦π ⁢( Rr +1 ) を示せ.