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2014 香川大学 前期

法,教育,工,農学部

易□ 並□ 難□

【1】  1 辺の長さが 1 の正六角形 ABCDEF において, a =AB b =AF と定める.このとき,次の問に答えよ.

1.  AC AD AE a b で表せ,

2. 辺 CD 上に点 G を,辺 DE 上に点 H をとり,線分 AG AH で正六角矩形の面積を 3 等分する.このとき, AG AH a b で表せ.

3.  AG AH のなす角を θ とするとき, cosθ の値を求めよ.

2014 香川大学 前期

法,教育,工,農学部

易□ 並□ 難□

【2】 座標平面の原点を O とし,点 A を第 1 象限に,点 B x 軸の正の部分に, AO=AB =1 となるようにとる.このとき,次の問に答えよ.

1. 二等辺三角形 AOB の底角を θ とするとき,頂点 A B の座標を θ を用いて表せ.

2.  3 O A B を通る放物線を C y=f (x ) とする.このとき, f( x) を求めよ.

3. 放物線 C x 軸で囲まれた図形の面積 S を求めよ.

4. 面積 S の最大値と,そのときの θ の値を求めよ.

2014 香川大学 前期

法,教育,工,農学部

易□ 並□ 難□

【3】 自然数 n に対して,座標平面上の点 Pn を次のように帰納的に定める.点 P1 の座標を ( 1,1 ) とし,原点 O を中心として線分 OP n を反時計回りに 90 ° 回転させてできる線分を OQ n とし,線分 OQ n の中点を Pn +1 とする.このとき,次の問に答えよ.

1. 点 P2 P 3 P4 P 5 の座標を求めよ.

2.  k を自然数とするとき,点 P4 k+1 の座標を k を用いて表せ.

3. 点 Xn OXn =OP 1 +OP2 + + OPn となるように定める.このとき,点 X2 X 3 X4 X 5 の座標を求めよ.また,線分 OX1 X1 X2 X 2X 3 X3 X4 X 4X 5 を座標平面上に図示せよ.

4.  k を自然数とするとき,点 X4 k の座標を k を用いて表せ.

2014 香川大学 前期

法,教育,農学部

易□ 並□ 難□

【4】 曲線 C1 y=x3 -2 x2 C 2y =x2 +ax +1 について,次の問に答えよ.

1. 曲線 C 1 の概形をかけ.

2. 曲線 C 1 x 軸の共有点で原点と異なるものを P とする.点 P における C 1 の接線 l の方程式を求めよ.

3. 2.で求めた直線 l が曲線 C 2 の接線となるような a の値をすべて求めよ.

4.  a が3.で求めた値のうち最小の値をとるとき,曲線 C 2 と直線 l および y 軸で囲まれた図形の面積を求めよ.

2014 香川大学 前期

教育,農学部

易□ 並□ 難□

【5】 曲線

C1 y=tan x ( 0x< π 2)

C2 y=cos x (0 x< π2 )

について,次の問に答えよ.

1.  2 曲線 C1 C2 の共有点の x 座標を a とするとき, sinx の値を求めよ.

2. 曲線 C1 C 2 y 軸で囲まれた図形の面積を求めよ.

2014 香川大学 前期

工,医学部

医学部は【1】

易□ 並□ 難□

【4】 関数 f (x )=x e2 -x について,次の問に答えよ.

1. 曲線 C y=f (x ) の概形をかけ.

2. 曲線 C の接線のうち傾きが最小のものを l とするとき, l の方程式を求めよ.

3. 曲線 C と直線 l および y 軸で囲まれた図形の面積を求めよ.

2014 香川大学 前期

医学部

易□ 並□ 難□

【2】 行列 A =( 0-1 2 3 ) について,次の問に答えよ.ただし, E=( 1 00 1 ) とする.

1.  A2 -3A +2E を求めよ.

2. 自然数 n に対して, E+A+ A2+ +A n=a nA +bn E となる実数 an bn をそれぞれ n を用いて表せ.

2014 香川大学 前期

医学部

易□ 並□ 難□

【3】 一辺の長さが x の正三角形 ABC を底面,点 O を頂点とし, OA=OB =OC である三角 すい OABC に半径 1 の球が内接しているとする.ただし,球が三角錐に内接するとは,球が三角錐のすべての面に接することである.このとき,次の問に答えよ.

1. 三角錐 OABC の体積を x を用いて表せ.

2. この体積の最小値と,そのときの x の値を求めよ.

2014 香川大学 前期

医学部

易□ 並□ 難□

2014年香川大前期医学部【4】2014107810109の図

【4】  0<r< R とし,半径 R の円に半径 r の小円をいくつか外接させる.ただし,小円どうしは接するか互いに交わらないものとする(図参照).このときの小円の個数の最大値を n としたとき,次の問に答えよ.必要ならば,次の数表を用いてよい.

1.  R=3 r のとき, n を求めよ.

2.  nπ ( Rr +1 ) を示せ.



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