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2014 愛媛大学 前期

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【1】 次の問いに答えよ.

(1)  AB=1 A =90 ° を満たす直角二等辺三角形 ABC において,辺 AB の中点を P AC 2 :1 に内分する点を Q 線分 CP と線分 BQ の交点を R とする.このとき,線分 AR の長さを求めよ.

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【1】 次の問いに答えよ.

(2)  ( 13 )26 を小数で表すと,小数第何位に初めて 0 でない数字が現れるか.ただし,必要ならば log10 3=0.4771 として計算せよ.

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【1】 次の問いに答えよ.

(3)  k を実数とし,不等式 x2- 2x- 3>0 x2 -(k +1) x+k >0 を満たす実数 x の集合をそれぞれ A B とする.このとき, A B であるための必要十分条件を k を用いて表せ.

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【2】  t x は実数とする.関数 f (t ) f (t )=2 | t-1| +t+1 と定義し, F( x)= 0x f( t) dt とおく.

(1) 関数 y =f( t) のグラフをかけ.

(2) 関数 F (x ) を求めよ.

(3) 曲線 y =F( x) 上の点 ( 0,F (0 )) における接線 l の方程式を求めよ.

(4) 曲線 y =F (x ) と(3)で求めた接線 l とで囲まれた図形の面積を求めよ.

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【3】  A 3 けた の自然数で,その百の位の数 x 十の位の数 y 一の位の数 z は,

100x +10y +z=x !+y! +z!

を満たしている.

(1)  6! の値を求め, x y z はすべて 5 以下であることを示せ.

(2)  x 3 以下であることを示せ.

(3)  y z のうち少なくとも 1 つは 5 であることを示せ.

(4)  A を求めよ.

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【4】  n 0 以上の整数とする.点 P Q は, 1 辺の長さが 1 である正四面体 ABCD の頂点の上を,以下の条件(a),(b)を満たしながら移動する.

(a) 時刻 t =0 において,点 P は頂点 A に,点 Q は頂点 B にいる.

(b) 時刻 t =n+1 において,点 P と点 Q は各々,時刻 t =n のときにいた頂点から、他の 3 つの頂点のいずれかに,それぞれ 13 の確率で移動する.

 時刻 t =n における点 P と点 Q の間の距離を d n とおく. dn の値は 0 または 1 である.時刻 t =n において dn= 1 となる確率を p n とする.

(1) 時刻 t =1 とする.

(ⅰ) 点 P が頂点 C にいるとき, d1 =1 となる点 Q の位置は何通りか.

(ⅱ) 点 P が頂点 B にいるとき, d1 =1 となる点 Q の位置は何通りか.

(2)  p1 を求めよ.

(3)  d1 +d2 =1 となる確率を求めよ.

(4)  pn+ 1 p n で表し, pn を求めよ.

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【5】 次の問いに答えよ.

(1) すべての実数 x に対して

f( x)= sinπ x+ 01 t f( t) dt

が成り立つような関数 f (x ) を求めよ.

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【5】 次の問いに答えよ.

(2) 次の極限値を求めよ.

limθ 0 θ 3tan θ-sin θ

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【5】 次の問いに答えよ.

(3) 次の極限値を求めよ.

limn k= n+1 2n 1k

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【5】 次の問いに答えよ.

(4) 関数 f (x )= |x | (e x+a ) x =0 において微分可能であるとする.このとき,定数 a の値を求めよ.

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【6】  n は自然数, m は整数, k α β は実数とする.

(1)  α1 β 1 のとき, αβ α+β -1 が成り立つことを示せ.

(2)  x に関する 2 次方程式 x2- mx+ k=0 2 つの解を p q とする. p が整数ならば, q k も整数であることを示せ.

(3)  x に関する 2 次方程式 x2- n2 x+n= 0 は,整数の解をもたないことを示せ.

(4)  x に関する 2 次方程式 x2- (n -2) 2 x+n= 0 が整数の解をもつとき, n の値とその解をすべて求めよ.

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【7】  a b は, 0<b <a を満たす実数とする.曲線 y =ex 上の点 ( 0,1 ) における接線 l 1 の方程式を y =f( x) ( a,ea ) における接線 l 2 の方程式を y =g( x) とおく.また, l1 l 2 の交点の x 座標を p (a ) とする.連立不等式

0x b f (x) y ex

の表す領域の面積を S1 連立不等式

bx a g (x )y ex

の表す領域の面積を S 2 とし, R=e -b S2 とおく.このとき,次の問いに答えよ.必要ならば,すべての自然数 k に対して limx x ke -x =0 が成り立つことを用いてよい.

(1)  p( a) を求めよ.

(2)  S1 S 2 を求めよ.

(3)  t=a- b とする. R t のみの関数として表せ.

(4) 極限値 lima ( a-p (a )) を求めよ.

(5)  b=p (a ) とする.このとき,極限値 lima S 2S1 を求めよ.

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【8】  E=( 1 0 01 ) O =( 00 0 0) とし, t は実数とする. A は, A3= E を満たす 2 次の正方行列とする.

(1)  (A -tE ) (A 2+t A+ t2 E) t E を用いて表せ.

(2)  t1 のとき A -tE は逆行列をもつことを示せ.

(3) 次の 3 つの命題を証明せよ.

(ⅰ)  A=E ならば, A2 +A+E O である.

(ⅱ)  A2 +A+E O ならば, A-E は逆行列をもたない.

(ⅲ)  A-E が逆行列をもたないならば, A=E である.

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【9】  n は自然数, p0 p1 p n p0> 0 p 1>0 p n>0 かつ p0+ p1+ +p n=1 を満たす定数とする.ポイント

0 1 2 n-1 n

が,それぞれ

p0 p1 p2 p n-1 p n

の確率で得られる試行 T を考える.試行 T 1 回行って得られるポイントの期待値を a とし, A=[ a]+ 1 とする.ただし,実数 x に対して [x ] x を越えない最大の整数を表す.

 競技者は,試行 T を下記の各設問のルールに従って何回か行う.

(1)  k 1 kn を満たす整数とする.競技者は,試行 T を以下のルールに従って最大 2 回まで行う.

 試行 T 1 回行い、もしポイントが k 以上であれば 2 回目の試行を行わず,このポイントを賞金とする.

  1 回目のポイントが k 未満であれば 2 回目の試行 T を行う.このとき, 1 回目のポイントは無効とし, 2 回目のポイントを賞金とする.

このとき賞金の期待値を b k とする. bk を求めよ.

(2) (1)の期待値 b k k A のとき最大となることを示せ.

(3)  m 1 mn を満たす整数とする.競技者は,試行 T を以下のルールに従って最大 3 回まで行う.

 試行 T 1 回行い,もしポイントが m 以上であれば 2 回目以降の試行を行わず,このポイントを賞金とする.

  1 回目のポイントが m 未満であれば 2 回目の試行 T を行う. 2 回目のポイントが A 以上であれば 3 回目の試行を行わない.このとき, 1 回目のポイントは無効とし, 2 回目のポイントを賞金とする.

  2 回目のポイントが A 未満であれば 3 回目の試行 T を行う.このとき, 1 回目, 2 回目のポイントは無効とし, 3 回目のポイントを賞金とする.

このとき賞金の期待値を c m とする. cm を求めよ.

(4) (3)の期待値 c m m B =[ bA] +1 のとき最大となり, cB bA であることを示せ.ただし, bA は(1)で求めた期待値 b k k =A のときの値である.

(5)  n=5 とし,試行 T として, 5 枚の硬貨を同時に投げ,表の出た枚数をポイントとする試行を考える.また, bk cm は上記で定義したものとする.

(ⅰ)  p0 p1 p2 p3 p4 p5 a を求めよ.

(ⅱ) (1)のように最大 2 回試行を行う場合, bk の最大値を求めよ.

(ⅲ) (3)のように最大 3 回試行を行う場合, cm の最大値を求めよ.

志望別問題選択一覧

教育,農,工(環境建設工学科社会デザインコース)学部 【1】,【2】,【3】,【4】

理,工(環境建設工学科社会デザインコース除く)学部 【4】,【5】,【6】,【7】,【8】

医学部 【4】,【6】,【7】,【8】,【9】

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