2014　福岡教育大学　前期MathJax

(問1)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を用いて表せ．

(問2)　$\mathrm{AQ}:\mathrm{QP}$を最も簡単な整数の比で表せ．

(問3)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=1$のとき，$▵\mathrm{BPQ}$の面積を求めよ．

$\begin{array}{ccccccccc}{a}_1& |& a_2,a_3& |& a_4,a_5,a_6& |& a_7,a_8,a_9,a_{10}& |& \cdots \\ \text{第}1\text{群}& & \text{第}2\text{群}& & \text{第}3\text{群}& & \text{第}4\text{群}& & \end{array}$

　第$k$群に含まれるすべての項の和を$S_k$とするとき，次の問いに答えよ．

(問1)　$S_k$を求めよ．

(問2)　$S_k$が最大となる群に含まれる項の平均値を求めよ．

(問3)　$\left|S_k\right|=\left|S_{k+1}\right|$を満たす$k$を求めよ．

(問1)　点$(0,1-{\displaystyle \frac{1}{a}})$から曲線$C$に引いた接線の方程式を$a$を用いて表せ．

(問2)　（問1)で求めた接線と曲線$C$と$x$軸によって囲まれた部分のうち第$1$象限の部分の面積を$a$を用いて表せ．

(問3)　曲線$C$が曲線$y={\displaystyle \frac{x^2}{2e}}$と共有点をもち，その点における$2$つの曲線の接線が一致しているとき，曲線$C$と曲線$y={\displaystyle \frac{x^2}{2e}}$と$x$軸によって囲まれた部分の面積を求めよ．

$k\overrightarrow{\mathrm{PO}}+m\overrightarrow{\mathrm{PA}}+n\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{0}$

が成り立たつとする．次の問いに答えよ．

(問1)　$k=4\text{，}m=1\text{，}n=2$のとき，$▵\mathrm{POA}\text{，}▵\mathrm{POB}\text{，}▵\mathrm{PAB}$の面積比を最も簡単な整数の比で表せ．

(問2)　$k$を$0$以上の定数とする．点$\mathrm{P}$が$m\geqq 0\text{，}n\geqq 0\text{，}m+n=3$を満たしながら動くとき，点$\mathrm{P}$の軌跡は線分になることを示せ．

(問3)　点$\mathrm{P}$が$k\geqq 1\text{，}m\geqq 0\text{，}n\geqq 0\text{，}m+n=3$を満たしながら動くとき，点$\mathrm{P}$の存在する領域$D$を図示せよ．また，領域$D$の面積は$▵\mathrm{OAB}$の面積の何倍になるかを求めよ．

$\begin{array}{ccccccccc}{a}_1& |& a_2,a_3& |& a_4,a_5,a_6& |& a_7,a_8,a_9,a_{10}& |& \cdots \\ \text{第}1\text{群}& & \text{第}2\text{群}& & \text{第}3\text{群}& & \text{第}4\text{群}& & \end{array}$

　第$k$群に含まれるすべての項の和を$S_k$とするとき，次の問いに答えよ．

(問1)　$S_k$を求めよ．

(問2)　$a=212$のとき，$S_k$が最大となる群に含まれる項の平均値を求めよ．

(問3)　$a=93$のとき，$\left|S_k\right|=\left|S_{k+1}\right|$を満たす$k$を求めよ．

$f(x)=2\cos x-a{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}f(t)\sin xdt$

を満たしているとする．次の問いに答えよ．

(問1)　$f(x)$を求めよ．

(問2)　${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f(x)\sin xdx=-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす定数$a$の値を求めよ．

(問3)　$a$が(問2)で求めた値のとき，次の(ア)，(イ)に答えよ．

(ア)　$0\leqq x\leqq \pi$における関数$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

(イ)　${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}|f(x)|dx$の値を求めよ．