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2014 九州大学 前期

文系(文,教育,経済,法,医(看護))

配点50点

易□ 並□ 難□

【1】 座標平面上の直線 y =-1 l1 直線 y =1 l 2 とし, x 軸上の 2 O ( 0,0 ) A (a ,0) を考える.点 P ( x,y ) について,次の条件を考える.

d( P, l1 ) PO かつ d ( P, l2) PA

ただし, d( P,l ) は点 P と直線 l の距離である.

(1) 条件 を満たす点 P が存在するような a の値の範囲を求めよ.

(2) 条件 を満たす点 P 全体がなす図形の面積 S a を用いて表せ.ただし, a の値は(1)で求めた範囲にあるとする.

2014 九州大学 前期

文系(文,教育,経済,法,医(看護))・理系(経済(経済工),工,芸術工,農,医(医,生命科学,保健(放射線技術,検査技術)),歯,薬学部共通

配点50点

易□ 並□ 難□

【2】 以下の問いに答えよ.

(1) 任意の自然数 a に対し, a2 3 で割った余りは 0 1 であることを証明せよ.

(2) 自然数 a b c a2+ b2= 3c 2 を満たすと仮定すると, a b c はすべて 3 で割り切れなければならないことを証明せよ.

(3)  a2+ b2= 3c2 を満たす自然数 a b c は存在しないことを証明せよ.

2014 九州大学 前期

文系(文,教育,経済,法,医(看護))

配点50点

易□ 並□ 難□

【3】 鋭角三角形 ABC について, A B C の大きさを,それぞれ A B C とする. ABC の重心を G 外心を O とし,外接円の半径を R とする.

(1)  A O から辺 BC に下ろした垂線を,それぞれ AD OE とする.このとき,

AD=2 Rsin Bsin C OE= Rcos A

を証明せよ.

(2)  G O が一致するならば ABC は正三角形であることを証明せよ.

(3)  ABC が正三角形でないとし,さらに OG BC と平行であるとする.このとき,

AD=3 OE tan Btan C=3

を証明せよ.

2014 九州大学 前期

文系(文,教育,経済,法,医(看護))・理系(経済(経済工),工,芸術工,農,医(医,生命科学,保健(放射線技術,検査技術)),歯,薬学部共通

配点50点

易□ 並□ 難□

【4】  A さんは 5 円硬貨を 3 枚, B さんは 5 円硬貨を 1 枚と 10 円硬貨を 1 枚持っている. 2 人は自分が持っている硬貨すべてを一度に投げる.それぞれが投げた硬貨のうち表が出た硬貨の合計金額が多い方を勝ちとする.勝者は相手の裏が出た硬貨をすべてもらう.なお,表が出た硬貨の合計金額が同じときは引き分けとし,硬貨のやりとりは行わない.このゲームについて,以下の問いに答えよ.

(1)  A さんが B さんに勝つ確率 p および引き分けとなる確率 q をそれぞれ求めよ.

(2) ゲーム終了後に A さんが持っている硬貨の合計金額の期待値 E を求めよ.

2014 九州大学 前期

理系(経済(経済工),工,芸術工,農,医(医,生命科学,保健(放射線技術,検査技術)),歯,薬学部)

配点50点

易□ 並□ 難□

【1】 関数 f (x )=x -sinx ( 0x π 2 ) を考える.曲線 y =f (x ) の接線で傾きが 12 となるものを l とする.

(1)  l の方程式と接点の座標 ( a,b ) を求めよ.

(2)  a は(1)で求めたものとする.曲線 y =f (x ) 直線 x =a および x 軸で囲まれた領域を, x 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積 V を求めよ.

2014 九州大学 前期

理系(経済(経済工),工,芸術工,農,医(医,生命科学,保健(放射線技術,検査技術)),歯,薬学部)

配点50点

易□ 並□ 難□

【3】 座標平面上の楕円

(x +2) 216 + (y -1) 24 =1

を考える.以下の問いに答えよ.

(1) 楕円 と直線 y =x+a が交点をもつときの a の値の範囲を求めよ.

(2)  |x |+ |y |=1 を満たす点 ( x,y ) 全体がなす図形の概形をかけ.

(3) 点 ( x,y ) が楕円 上を動くとき, |x |+ |y | の最大値,最小値とそれを与える ( x,y ) をそれぞれ求めよ.

2014 九州大学 前期

理系(経済(経済工),工,芸術工,農,医(医,生命科学,保健(放射線技術,検査技術)),歯,薬学部)

配点50点

易□ 並□ 難□

【5】  2 以上の自然数 n に対して,関数 fn (x )

fn (x )= (x- 1) (2 x-1) (n x-1 )

と定義する. k=1 2 n-1 に対して, fn ( x) が区間 1 k+1 <x < 1k でただ 1 つの極値をとることを証明せよ.

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