2014　九州大学　後期MathJax

【１】　行列$A={\displaystyle \frac{1}{4}}\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ 3& 5\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$について以下の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を実数とする．行列$T=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$が$AT=TB$かつ$ad-bc=1$を満たすとき，$b\text{，}c\text{，}d$をそれぞれ$a$を用いて表せ．

(2)　$xy$平面内の点${\mathrm{P}}_n({\alpha }_n,{\beta }_n)$を

$\left(\begin{array}{c}{\alpha }_n\\ {\beta }_n\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}{\alpha }_{n-1}\\ {\beta }_{n-1}\end{array}\right)\text{，}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$

で定める．ただし，${\alpha }_0=1\text{，}{\beta }_0=0$とする．このとき${\alpha }_n$および${\beta }_n$を求めよ．また，点${\mathrm{P}}_n$を通り，$y=x$で与えられる直線$l$と直交する直線$m$の方程式を求めよ．

(3)　直線$l$と直線$m$の交点を${\mathrm{Q}}_n$とし，${\mathrm{P}}_n$と${\mathrm{Q}}_n$の距離を$d_n$とする．このとき$\underset{n\to \infty }{\lim }{d}_n$を求めよ．

【２】　箱の中に，赤玉が$5$個，青玉が$4$個，白玉が$3$個入っている．それぞれの玉の大きさは同じで，$1$個あたりの重さは，赤玉が$100\mathrm{g}\text{，}$青玉が$45\mathrm{g}\text{，}$白玉が$30\mathrm{g}$である．このとき以下の問いに答えよ．ただし，取り出された玉は重さを量ったあとで，箱の中にもどすものとする．

(1)　無作為に箱から玉を$1$個取り出して空の袋に入れ，重さを量ったとする．このとき袋の中身の重さが$40\mathrm{g}$以上であるという条件のもとで，袋の中身が赤玉である確率を求めよ．

(2)　無作為に箱から玉を$2$個取り出して空の袋に入れ，重さを量ったとする．このとき袋の中身の重さが$100\mathrm{g}$以上であるという条件のもとで，袋の中身が$2$個とも赤玉である確率を求めよ．

(3)　無作為に箱から玉を$3$個取り出して空の袋に入れ，重さを量ったとする．このとき袋の中身の重さが$150\mathrm{g}$以上であるという条件のもとで，袋の中身が$3$個とも赤玉である確率を求めよ．

【３】　$a$を正の定数，関数$f(x)\text{，}g(x)$をそれぞれ$f(x)=x{e}^x\text{，}g(x)=ax$とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　$y=f(x)$と$y=f(x)$のグラフが$0<x<1$の範囲において交点を持つための$a$の範囲を求めよ．

(2)　$h(a)={\displaystyle {\int }_0^1}|f(x)-g(x)|dx$とおく．$h(a)$を最小にする$a$の値を求めよ．

【４】　$xy$平面において半径$r$の円を考える．この円の中心$\mathrm{O}$は，時刻$t=0$において点$(0,r)$にあり，一定の速さ$ar$（ただし$a>0$）で$x$軸の正の方向に移動する．同時に，この円は中心$\mathrm{O}$のまわりを単位時間当たり$1$ラジアンの割合で時計まわりに連続的に回転する．時刻$t=0$において原点$(0,0)$にあった円周上の定点$\mathrm{P}$の時刻$t$における座標を$(x(t),y(t))$とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標$(x(t),y(t))$を$a\text{，}r\text{，}t$を用いて表せ．

(2)　$0\leqq t\leqq 2\pi$のとき，以下の(ⅰ)，(ⅱ)それぞれの場合について，点$\mathrm{P}$の軌跡$C$の概形を図示し，$x(t)\text{，}y(t)$の最大値と最小値，および$C$と$x$軸との共有点の$x$座標を求め，図の中に記入せよ．

(ⅰ)　$a=1$

(ⅱ)　$a={\displaystyle \frac{1}{2}}$

(3)　$a={\displaystyle \frac{1}{2}}$の場合について，$C$と$x$軸によって囲まれる領域の面積を求めよ．

【５】　すべての実数$x$について，関数$f(x)$およびその導関数$f^{\prime }(x)$が微分可能であり，$f^{\prime }(x)>0$かつ$f^{″}(x)>0$が満たされるとする．また，$f(-2)<0$かつ$f(2)>0$であるとし，$f(x)=0$の解を$a$とする．$f(x)$を用いて，数列$\{x_n\}$を次のように定義する．

・　$x_1=2$

・　$x_n\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$は，曲線$y=f(x)$の$x=x_{n-1}$における接線と$x$軸との交点の$x$座標とする．

このとき以下の問いに答えよ．

(1)　$x_n>a$ならば以下の不等式が成り立つことを平均値の定理を用いて示せ．

$f^{\prime }(a)<{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x_n)(x_n-x_{n+1})}{x_n-a}}<f^{\prime }(x_n)$

(2)　$x_n>a\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$であることを数学的帰納法を用いて示せ．

(3)　次の不等式を示せ．

${\displaystyle \frac{x_{n+1}-a}{x_n-a}}<1-{\displaystyle \frac{f^{\prime }(a)}{f^{\prime }(x_n)}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$となることを示せ．