2014　九州工業大学　後期MathJax

2014-10848-0201

2014　九州工業大学　後期

工学部

配点75点

易□　並□　難□

【１】　 $4$ 枚の硬貨を同時に投げ，表の出た硬貨の枚数を $n$ とし，座標平面上に点 $A (1, 0)$ と点 $P (\cos \frac{n + 1}{6} π, \sin \frac{n + 1}{6} π)$ をとる．原点 $O$ を中心とする半径 $1$ の円の周および内部を $D_{1} ，$ 線分 $AP$ を直径とする円の周および内部を $D_{2}$ とする． $D_{1}$ と $D_{2}$ の共通部分の面積を $S$ とするとき，次に答えよ．

(ⅰ)　表の出た硬貨が $n$ 枚となる確率を各 $n$ についてそれぞれ求めよ．

(ⅱ)　 $n = 0$ のとき $S$ を求めよ．

(ⅲ)　 $S$ の期待値 $E$ を求めよ．

2014-10848-0202

2014　九州工業大学　後期

工学部

配点75点

易□　並□　難□

【２】　数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ を

$a_{1} = 1 ， a_{n + 1} = - (n + 1) a_{n} （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$

$b_{1} = 0 ， b_{n + 1} = 1 - (n + 1) b_{n} （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$

により定める．次に答えよ．ただし，対数は自然対数を表し， $e$ は自然対数の底とする．

(ⅰ)　 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ．

(ⅱ)　自然数 $n$ に対して，等式

$a_{n} + e b_{n} = \int_{1}^{e} {(\log x)}^{n} d x$

が成り立つことを，数学的帰納法によって証明せよ．

(ⅲ)　自然数 $n$ に対して，不等式 $0 < \int_{1}^{e} {(\log x)}^{n} d x < e - 1$ を示せ．

(ⅳ)　 $\lim_{n \to \infty} \frac{b_{n}}{a_{n}}$ を求めよ．

2014-10848-0203

2014　九州工業大学　後期

工学部

配点75点

易□　並□　難□

【３】　次に答えよ．ただし $e$ は自然対数の底とする．

(ⅰ)　関数 $f (x) = \sin x + \cos x （ 0 ≦ x ≦ π ）$ の最大値と最小値を求めよ．

(ⅱ)　関数 $g (x) = e^{\sin x + \cos x} （ 0 ≦ x ≦ π ）$ の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，そのグラフをかけ．

(ⅲ)　 $k$ を定数とする． $0 ≦ x ≦ π$ の範囲における，方程式 $e^{\sin x} = k e^{- \cos x}$ の異なる実数解の個数を調べよ．

2014-10848-0204

2014　九州工業大学　後期

工学部

配点75点

易□　並□　難□

【４】　 $a < 1$ は定数とし，関数 $f (x)$ を $f (x) = x^{2} - 2 a x + a^{2}$ とする．曲線 $C ： y = f (x)$ と直線 $l ： y = 2 x - 4$ に対し， $C$ の点 $P (2, f (2))$ における接線を $m$ とし， $l$ と $m$ の交点を $Q$ とするとき，次に答えよ．

(ⅰ)　接線 $m$ の方程式を $a$ を用いて表せ．

(ⅱ)　点 $Q$ の座標を $a$ を用いて表せ．

(ⅲ)　(ⅱ)で求めた $Q$ の $y$ 座標を $g (a)$ とする． $f (2) - g (a)$ を $a$ の関数と考え，その関数を $h (a)$ とおく． $h (a)$ が最小値をとるときの $a$ の値を求めよ．

(ⅳ)　 $a$ を(ⅲ)で求めた値とするとき，曲線 $C$ と接線 $m$ および $y$ 軸で囲まれた図形を $y$ 軸のまわりに $1$ 回転してできる立体の体積 $V$ を求めよ．

2014-10848-0205

2014　九州工業大学　後期

情報工学部

易□　並□　難□

【１】　曲線 $C ： y = \frac{1}{2} x^{2}$ 上の点 $(a, \frac{1}{2} a^{2})$ を $P$ とする．ただし， $a > 0$ である．また， $P$ における $C$ の法線を $l$ とし， $P$ 以外の $C$ と $l$ の交点を $Q$ とする．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　 $l$ の方程式を求めよ．

(ⅱ)　線分 $PQ$ の長さを $a$ を用いて表せ．

(ⅲ)　 $a$ が $a > 0$ の範囲を動くとき，線分 $PQ$ の長さが最小になるときの $a$ の値とそのときの最小値を求めよ．

(ⅳ)　 $a$ が(ⅲ)で求めた値のとき， $C$ と $l$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ．

2014-10848-0206

2014　九州工業大学　後期

情報工学部

易□　並□　難□

【２】　行列 $A ， B$ は， $A - B = (\begin{matrix} - 2 & 0 \\ - 2 & - 1 \end{matrix}) ， A + B = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 2 & 5 \end{matrix})$ をみたす．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　 $A ， B$ を求めよ．

(ⅱ)　行列 $C$ が $A B = B C$ をみたすとき， $C$ を求めよ．

(ⅲ)　 $n$ を任意の自然数とするとき， $A^{n} = (\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \\ c_{n} & d_{n} \end{matrix})$ をみたす $a_{n} ， b_{n} ， c_{n} ， d_{n}$ を推測し，その推測が正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ．

(ⅳ)　 $n$ を任意の自然数とするとき，(ⅱ)で求めた $C$ について， $C^{n}$ を求めよ．

2014-10848-0207

2014　九州工業大学　後期

情報工学部

易□　並□　難□

【３】　実数 $0 < a ≦ \frac{1}{2}$ に対して，多角形 $P_{1} ， P_{2} ， \dots ， P_{n} ， \dots$ を，次の(1)，(2)のように定める．正方形の $2$ 本の対角線の交点を正方形の重心と呼ぶ．

(1)　 $1$ 辺の長さが $1$ の正方形を $P_{1}$ とする．

(2)　 $P_{n}$ の頂点のうち内角が $90 °$ であるすべての頂点に対して，その点に重心を持つ $1$ 辺の長さが $a^{n}$ の正方形を，各辺が $P_{1}$ のいずれかの辺と平行になるように追加する．追加したすべての正方形と $P_{n}$ を合わせた多角形を $P_{n + 1}$ とする．