2014　佐賀大学　後期MathJax

【１】　以下の問に答えよ．

(1)　${(\tan x)}^{\prime }-1={\tan }^{2}x$を示せ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}{\tan }^{2}xdx$を求めよ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}x{\tan }^{2}xdx$を求めよ．

【２】　点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，点$\mathrm{C}(2,0)$に対して，$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を線分$\mathrm{AB}$の中点が$\mathrm{C}$で，線分$\mathrm{AB}$の長さが$2$となるようにとる．ただし，直線$\mathrm{AB}$と$x$軸のなす角は$\theta$となっているとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　原点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$へ垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．このとき，線分$\mathrm{OH}$の長さを求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AB}$上を動くとき，線分$\mathrm{OP}$の長さの最小値を求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AB}$上を動くとき，線分$\mathrm{OP}$の長さが最小となる$\mathrm{P}$を$\mathrm{Q}$とおく．三角形$\mathrm{OCQ}$の面積が最大となる$\theta$の値を求めよ．

【３】　$f(x)$を$x$についての$3$次の多項式とする．$f(1)\text{，}f(2)\text{，}f(3)\text{，}f(4)\text{，}f(5)\text{，}f(6)$を計算した結果をそれぞれ順に$r_1\text{，}{r}_2\text{，}{r}_3\text{，}{r}_4\text{，}{r}_5\text{，}{r}_6$としたとき

$r_1=0\text{，}{r}_2=0\text{，}{r}_3=1\text{，}{r}_4=-30\text{，}{r}_5=-72\text{，}{r}_6=-140$

であった．しかし，$r_1\text{，}{r}_2\text{，}{r}_3\text{，}{r}_4\text{，}{r}_5\text{，}{r}_6$のうち$5$つは正しいが，残り$1$つは間違いであることがわかった．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$g(x)=x^4+a{x}^3+b{x}^2+cx-6$として，$x$と$y$についての多項式

$h(x,y)=g(x)+(x-3)y$

を考える．このとき，$h(1,r_1)=h(2,r_2)=h(3,r_3)=0$となるように，$g(x)$の係数$a\text{，}b\text{，}c$を求めよ．ただし，$x$と$y$についての多項式$h(x,y)$に$x=\alpha \text{，}y=\beta$を代入した値を$h(\alpha ,\beta )$と書いている．

　さらに，$h(4,r_4)\text{，}h(5,r_5)\text{，}h(6,r_6)$の値を求めよ．

(2)　(1)で求めた$g(x)$に対して，恒等式$g(x)+(x-3)f(x)=0$が成り立つことを示せ．ただし，「次数が$n$以下の多項式$P(x)$が相異なる$n+1$個の$x$の値に対して，その値が$0$となるとき，恒等式$P(x)=0$が成り立つ」という事実は使ってもよい．

　また$f(x)$を求め，計算結果$r_1\text{，}{r}_2\text{，}{r}_3\text{，}{r}_4\text{，}{r}_5\text{，}{r}_6$のうち，間違っていたものを答えよ．

【４】　$0$以上の整数$n$に対して

$I_n={\displaystyle {\int }_0^1}{(1-x^2)}^{n}dx$

とおく．このとき，次の問に答えよ．

(1)　自然数$n$に対して，$I_n={\displaystyle \frac{2n}{2n+1}}{I}_{n-1}$となることを示せ．

(2)　自然数$n$に対して，$I_n$を求めよ．

(3)　自然数$n$に対して

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{(-1)}^k{\displaystyle \frac{{}_{n}C_k}{2k+1}}={\displaystyle \frac{2^{2n}{(n!)}^2}{(2n+1)!}}$

となることを示せ．

【１】　座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(-1,2)\text{，}\mathrm{B}(2,1)\text{，}\mathrm{P}(1,-5)$をとる．このとき，以下の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と同じ長さで，$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と直交するベクトルを成分で表せ．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$と同じ長さで，$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$と直交するベクトルを成分で表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$から点$\mathrm{A}$まで進み，進行方向に対して右に$90\mathrm{°}$だけ曲がって同じ距離だけ進んだ点を$\mathrm{D}$とする．次に点$\mathrm{P}$から点$\mathrm{B}$まで進み，進行方向に対して左に$90\mathrm{°}$だけ曲がって同じ距離だけ進んだ点を$\mathrm{E}$とする．このとき，線分$\mathrm{DE}$の中点の座標を求めよ．

(3)　平面上に$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$と異なる点$\mathrm{Q}$をとる．点$\mathrm{Q}$から点$\mathrm{A}$まで進み，進行方向に対して右に$90\mathrm{°}$だけ曲がって同じ距離だけ進んだ点を$\mathrm{F}$とする．次に点$\mathrm{Q}$から点$\mathrm{B}$まで進み，進行方向に対して左に$90\mathrm{°}$だけ曲がって同じ距離だけ進んだ点を$\mathrm{G}$とする．このとき，線分$\mathrm{FG}$の中点の座標を求めよ．

【３】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{|x^2-x|}{2}}+{\displaystyle \frac{|x^2+x|}{2}}$について，次の問に答えよ．

(1)　$y=f(x)$のグラフの概形を描け．

(2)　曲線$y=f(x)$と直線$y={\displaystyle \frac{3}{2}}x+1$で囲まれた図形の面積を求めよ．