2014　熊本大学　前期MathJax

【１】　空間内の$1$辺の長さ$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．また，点$\mathrm{D}$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$を満たす点，点$\mathrm{E}$を$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$を満たす点とし，点$\mathrm{P}$を$\mathrm{OA}$の中点とする．以下の問いに答えよ．

(問１)　$0<t<1$に対し，$\mathrm{BD}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{R}$とし，$\mathrm{CE}$を$(1-t):t$に内分する点を$\mathrm{S}$とする．また，$\mathrm{OB}$と$\mathrm{PR}$の交点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{OC}$と$\mathrm{PS}$の交点を$\mathrm{N}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を，それぞれ$t\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(問２)　$▵\mathrm{OMN}$の面積を$t$を用いて表せ．

(問３)　$t$が$0<t<1$の範囲を動くとき，$▵\mathrm{OMN}$の面積の最小値を求めよ．

【２】　$▵\mathrm{ABC}$において，

$\angle \mathrm{BAC}=\theta \text{，}\mathrm{AB}=\sin \theta \text{，}\mathrm{AC}=|\cos \theta |$

とする．ただし，$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$または${\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <\pi$とする．以下の問いに答えよ．

(問１)　${\mathrm{BC}}^2$の最大値と最小値を求めよ．

(問２)　$▵\mathrm{ABC}$の面積の最大値を求めよ．

【３】　放物線$C\text{：}y=a{x}^2+bx+c\text{（}a\ne 0\text{）}$が点$\mathrm{P}(1,-2)$と$\mathrm{Q}(5,10)$を通るとし，$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$における$C$の接線をそれぞれ$l\text{，}m$とする．以下の問いに答えよ．

(問１)　$b\text{，}c$をそれぞれ$a$を用いて表せ．

(問２)　$l$と$m$の交点の$y$座標が$-4$であるとき，$a\text{，}b\text{，}c$を求めよ．

(問３)　(問２)で求めた$a\text{，}b\text{，}c$について，放物線$C$と$l\text{，}m$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【４】　$1$次関数$f_n(x)=a_{n}x+b_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$は以下の$2$つの条件を満たすとする．

(ⅰ)　$f_1(x)=x$

(ⅱ)　$f_{n+1}(x)$は整式$P_n(x)={\displaystyle {\int }_1^x}6t{f}_n(t)dt$を$x^2+x$で割ったときの余りに等しい．

　以下の問いに答えよ．

(問１)　$n\geqq 1$のとき，$a_{n+1}\text{，}{b}_{n+1}$を$a_n\text{，}{b}_n$を用いて表せ．

(問２)　$n\geqq 2$のとき，$\left|a_n\right|$と$\left|b_n\right|$は偶数であることを示せ．

(問３)　$n\geqq 2$のとき，$\left|a_n\right|$と$\left|b_n\right|$は$3$の倍数ではないことを示せ．

【２】　$a$を正の定数とする．条件

$\cos \theta -\sin \theta =a\sin \theta \cos \theta \text{，}0<\theta <\pi$

を満たす$\theta$について，以下の問いに答えよ．

(問１)　条件を満たす$\theta$は，$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で，ただ$1$つ存在することを示せ．

(問２)　条件を満たす$\theta$の個数を求めよ．

【３】　$r$を$r>1$である実数とし，数列$\{a_n\}$を次で定める．

$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n+r^2}{a_n+1}}$

以下の問いに答えよ．

(問１)　$n$が奇数のとき$a_n<r\text{，}n$が偶数のとき$a_n>r$であることを示せ．

(問２)　任意の自然数$n$について，$a_{n+2}-r$を$a_n$と$r$を用いて表せ．

(問３)　任意の自然数$n$について，次の不等式を示せ．

${\displaystyle \frac{a_{2n+2}-r}{a_{2n}-r}}<{\left({\displaystyle \frac{r-1}{r+1}}\right)}^2$

(問４)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_{2n}$および$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_{2n+1}$を求めよ．

【４】　$a$を正の実数とする．$xy$平面上の曲線$C\text{：}y=e^{ax}$の接線で，原点を通るものを$l$とし，$C$と$l$および$y$軸で囲まれた領域を$S$とする．以下の問いに答えよ．

(問１)　$S$を$x$軸の周りに回転して得られる立体の体積$V_1$を求めよ．

(問２)　$S$を$y$軸の周りに回転して得られる立体の体積$V_2$を求めよ．

(問３)　$V_1=V_2$となるときの$a$の値を求めよ．

【１】　空間内の$1$辺の長さ$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{P}$とする．以下の問いに答えよ．

(問１)　$0<t<1$に対し，$\mathrm{BC}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．また，$\mathrm{PM}+\mathrm{MQ}$が最小となる$\mathrm{OB}$上の点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{PN}+\mathrm{NQ}$が最小となる$\mathrm{OC}$上の点を$\mathrm{N}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を，それぞれ$t\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(問２)　$▵\mathrm{QMN}$の面積を$t$を用いて表せ．

(問３)　$t$が$0<t<1$の範囲を動くとき，$▵\mathrm{QMN}$の面積の最大値を求めよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(問１)　正の実数$a\text{，}b\text{，}c$について，不等式

${\displaystyle \frac{\log a}{a}}+{\displaystyle \frac{\log b}{b}}+{\displaystyle \frac{\log c}{c}}<\log 4$

が成立することを示せ．ただし，$\log$は自然対数とし，必要なら$e>2.7$および$\log 2>0.6$を用いてもよい．

(問２)　自然数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$の組で

$a^{bc}{b}^{ca}{c}^{ab}=d^{abc}\text{，}a\leqq b\leqq c\text{，}d\geqq 3$

を満たすものをすべて求めよ．

【４】　$a$を$a>2$である実数とする．$xy$平面上の曲線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{\sin x\cos x}}(0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$と直線$y=a$の交点の$x$座標を$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$とする．以下の問いに答えよ．

(問１)　$\tan \alpha$および$\tan \beta$を$a$を用いて表せ．

(問２)　$C$と$x$軸，および$2$直線$x=\alpha \text{，}x=\beta$で囲まれた領域を$S$とする．$S$の面積を$a$を用いて表せ．

(問３)　$S$を$x$軸の周りに回転して得られる立体の体積$V$を$a$を用いて表せ．