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2014 大分大学 前期

経済,教育福祉科,工学部

易□ 並□ 難□

【1】  k>0 とし, f( x)= x( x+k) (x +2k ) とおく.曲線 y =f( x) C とする.

(1) 関数 f (x ) は異なる 2 つの極値をもつことを示しなさい.

(2) 曲線 C 上の極値をとる点を P Q とする.線分 PQ の中点 R の座標を求めなさい.

(3) 点 R が曲線 C 上にあることを示し,点 R における曲線 C の接線の方程式を求めなさい.

2014 大分大学 前期

経済,教育福祉科,工学部

教育福祉科学部は【3】

易□ 並□ 難□

【2】 原点 O を中心とする半径 2 2 の球面 S 上に 3 A B C があり,

OA OB = 4 OB OC =5 OC OA =6

をみたしている.三角形 ABC の重心を G とし,直線 OG と球面 S の交点のうち G から遠い方を P とする.

(1)  |OA | | OG | の値を求めなさい.

(2)  OP OA OB OC を用いて表しなさい.

(3)  OA OP のなす角を求めなさい.

2014 大分大学 前期

経済,工学部

工学部は【4】

易□ 並□ 難□

【3】  100 から 999 までの自然数の集合を全体集合 U とし,そのうち 14 で割ると 3 余るものの集合を A 9 の倍数の集合を B とおく.

(1)  A B の要素の個数を求めなさい.

(2)  A B の要素のうち,最小のものと最大のものを求めなさい.

(3)  U の要素が 1 つずつ書かれた玉の入った袋から玉を 2 個取り出す.このとき, 2 個の玉に書かれている数がいずれも 14 で割ると 3 余り,かつ 9 で割り切れない場合の確率を求めなさい.

2014 大分大学 前期

経済学部

易□ 並□ 難□

【4】  a b を実数とし, f( x)= 22 x-1 -a 2x+b とおく.

(1)  a=3 b=4 のとき,方程式 f (x )=0 の解を求めなさい.

(2)  a>0 b=0 のとき,方程式 f (x )=0 の解を求めなさい.

(3) 方程式 f (x )=0 が異なる 2 つの実数解をもつとき,点 ( a,b ) の表す領域を図示しなさい.

2014 大分大学 前期

教育福祉科学部

易□ 並□ 難□

【2】 正三角形 ABC があり,点 X は正三角形 ABC の頂点を移動する点である.サイコロを投げて 5 の目が出たとき点 X は時計回りに隣の頂点に移動し, 6 の目が出たとき点 X は反時計回りに隣の頂点に移動し,それ以外の目が出たとき点 X は移動しない.はじめに点 X は頂点 A にあるとし,サイコロを n 回投げたとき点 X が頂点 A にある確率を P n とする.

(1)  P1 P2 P3 を求めなさい.

(2)  Pn+ 1 P n を用いて表しなさい.

(3)  Pn を求めなさい.

2014 大分大学 前期

工学部

易□ 並□ 難□

【3】  a b を実数とし, f( x)= (a x+b cosx) sinx とおく.関数 f (x )

f (0 )= 2 0 π2 f( x) dx=4

をみたすとき, a b の値を求めなさい.

2014 大分大学 前期

医(医学科)学部

易□ 並□ 難□

【1】 次の各問いに答えなさい.

(1)  n 本中 k 本の当たりが入ったクジを n 人で順番に引く.引いたクジは元に戻さないとして, i 番目にクジを引く人の当たる確率が kn であることを示しなさい.ただし, 0<k <n とする.

2014 大分大学 前期

医(医学科)学部

易□ 並□ 難□

【1】 次の各問いに答えなさい.

(2) 関数 y1=sin x y 2=2 sin (a- x) について, y=y 1+y 2 の最大値が 7 になるとき,定数 a の値を求めなさい.

2014 大分大学 前期

医(医学科)学部

易□ 並□ 難□

【1】 次の各問いに答えなさい.

(3) 放物線 y =ax 2 と直線 y =bx で囲まれる部分の面積を 2 等分する直線 x =p を求めなさい.ただし, a b >0 とする.

2014 大分大学 前期

医(医学科)学部

易□ 並□ 難□

【2】 数列の和について次の一連の問いに答えなさい.

(1)  k= 1n k= 12 n (n+ 1) を示しなさい.

(2) 多項式 ( k+1) 3- k3 の展開を利用して k =1n k2= 16 n( n+1) (2 n+1 ) を示しなさい.

(3)  k=1 nk3 = 14 n 2 (n+ 1)2 を示しなさい.

(4)  k= 1n k4 を求めなさい.結果は因数分解すること.

2014 大分大学 前期

医(医学科)学部

易□ 並□ 難□

【3】 次の一連の問いに答えなさい.

(1) 自然数 m に対して, x>0 のとき ex> x mm! であることを示しなさい.

(2) 自然数 n に対して, limx xne x= 0 を示しなさい.

(3) 自然数 n に対して ΓK (n )= 0K xn- 1 e-x dx とするとき, limK ΓK ( n) を求めなさい.

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