2014　宮崎大学　前期MathJax

【１】　次の各問に答えよ．

(1)　右図のように半径$r_1$の円$O_1$と半径$r_2$の円$O_2$が外接している．円$O_1$と円$O_2$の接点を$\mathrm{P}$とする．円$O_1$の周上に点$\mathrm{P}$と異なる点$\mathrm{A}$をとり，線分$\mathrm{AP}$の延長と円$O_2$の交点を$\mathrm{B}$とする．また，円$O_1$の周上に点$\mathrm{P}\text{，}$点$\mathrm{A}$と異なる点$\mathrm{C}$をとり，線分$\mathrm{CP}$の延長と円$O_2$の交点を$\mathrm{D}$とする．

　このとき，次の(a)，(b)に答えよ．

(a)　点$\mathrm{P}$における円$O_1$の接線を利用して，$\mathrm{AC}⫽\mathrm{BD}$であることを示せ．

(b)　円$O_1$の中心と円$O_2$の中心を結ぶ直線を利用して，点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{AB}$を$r_1:r_2$に内分することを示せ．

(2)　右図のように半径$3$の円$C_1\text{，}$半径$4$の円$C_2\text{，}$半径$5$の円$C_3$が互いに外接している．円$C_2$と円$C_3$の接点を$\mathrm{J}\text{，}$円$C_3$と円$C_1$の接点を$\mathrm{K}\text{，}$円$C_1$と円$C_2$の接点を$\mathrm{L}$とする．線分$\mathrm{JL}$の延長と円$C_1$の交点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{JK}$の延長と円$C_1$の交点を$\mathrm{N}$とする．

　このとき，四角形$\mathrm{KLMN}$の面積は$▵\mathrm{JLK}$の面積の何倍であるかを求めよ．

【２】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の$3$人がそれぞれある地域の東公園，西公園および北公園のいずれかに行こうとしている．この$3$人は次のように，硬貨の表裏によって，どの公園に行くのかを決める．

・$\mathrm{A}$は手持ちの硬貨を$1$枚投げて，表が出たら西公園に行く．裏が出たら，西公園に行く．

・$\mathrm{B}$は手持ちの硬貨を$1$枚投げて，表が出たら西公園に行く．裏が出たら，もう$1$度その硬貨を投げて，表が出たら東公園に行き，裏が出たら北公園に行く．

・$\mathrm{C}$は手持ちの硬貨を$1$枚投げて，表が出たら北公園に行く．裏が出たら，もう$1$度その硬貨を投げて，表が出たら東公園に行き，裏が出たら西公園に行く．

ただし，$3$人が使用する硬貨は，表，裏がそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{2}}$の確率で出るものとする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が同じ公園に行く確率を求めよ．ただし，$\mathrm{C}$はどの公園に行ってもよいものとする．

(2)　$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$が同じ公園に行く確率を求めよ．ただし，$\mathrm{A}$はどの公園に行ってもよいものとする．

(3)　$3$人が同じ公園に行く確率を求めよ．

(4)　少なくとも$2$人が同じ公園に行く確率を求めよ．

【３】　放物線$C\text{：}y=x^2$上の点$(t,t^2)\text{（}t>0\text{）}$における$C$の接線を$l$とする．直線$x=-1\text{，}$放物線$C$および接線$l$で囲まれる図形の面積を$S_1\text{，}$直線$x=5t\text{，}$放物線$C$および接線$l$で囲まれる図形の面積を$S_2$とし，$R=S_2-S_1$とおく．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$R$の値を，$t$を用いて表せ．

(2)　$R$の最小値を求めよ．

【３】　次の各問に答えよ．ただし， は自然対数の底を表す．

(1)　次の関数を微分せよ．

(a)　$y={\displaystyle \frac{\cos x}{1-\sin x}}$

(b)　$y=(x+2)\sqrt{x^2+2x+5}$

【３】　次の各問に答えよ．ただし， は自然対数の底を表す．

(2)　次の定積分の値を求めよ．

(a)　${\displaystyle {\int }_1^2}{\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}}dx$	(b)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{6}}}\sin (3x)\sin (5x)dx$
(c)　${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{x^3+3x^2}{x^2+3x+2}}dx$	(d)　${\displaystyle {\int }_1^2}{x}^5{e}^{x^2}dx$

【４】　右図の平行六面体において，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$とし，$▵\mathrm{ACD}$と線分$\mathrm{OF}$の交点を$\mathrm{H}$とする．さらに，四面体$\mathrm{OACD}$が$1$辺の長さ$1$の正四面体であるとする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$▵\mathrm{ACD}$の重心が点$\mathrm{H}$に一致することを示し，$2$つの線分$\mathrm{OH}$と$\mathrm{HF}$の比$\mathrm{OH}:\mathrm{HF}$を求めよ．

(2)　内積$\overrightarrow{\mathrm{HE}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{HF}}$の値を求めよ．

(3)　$▵\mathrm{HEF}$の面積を求めよ．

【５】　座標平面において，$x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点という．$n$を自然数とし，放物線$y=x^2\text{，}$直線$x=n$および$x$軸で囲まれた図形を$S_n$とする．$S_n$の境界上にある格子点の個数を$a_n$とし，$S_n$の境界を除いた内部にある格子点の個数を$b_n$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)　$a_n$を，$n$を用いて表せ．

(2)　$b_n$を，$n$を用いて表せ．

(3)　$S_n$の面積を$c_n$とするとき，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}({\displaystyle \frac{a_n}{2}}+b_n-c_n)$を求めよ．

【２】　曲線$C_1\text{：}y=\cos x(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$上の点$(t,\cos t)(0<t<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$における曲線$C_1$の接線を$l$とする．また，$2$直線$x=0\text{，}x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$と接線$l$との交点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とし，放物線$C_2\text{：}y=-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+ax+c$が$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通るものとする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　$2$曲線$C_1\text{，}{C}_2$と$2$直線$x=0\text{，}x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で囲まれる部分の面積を$S$とする．$S$を，$a$と$c$を用いて表せ．

(3)　(2)の$S$が最小となる$t$の値を求めよ．

【４】　$t$を定数とする$2$次方程式$z^2-tz+t-{\displaystyle \frac{1}{2}}=0$について，次の各問に答えよ．ただし，定数$t$は実数とする．

(1)　この$2$次方程式が実数解をもち，すべての解が$-1$以上$1$以下であるような定数$t$の値の範囲を求めよ．

(2)　この$2$次方程式が$2$つの共役な虚数解$z=x\pm yi$（$x\text{，}y$は実数，$i$は虚数単位）をもち，$x^2+y^2\leqq 1$を満たすような定数$t$の値の範囲を求めよ．

【５】　不等式

${\log }_{x}y<2+3{\log }_{y}x$

の表す領域を座標平面上に図示せよ．

【２】　$a>0\text{，}a\ne 1\text{，}b>0$とする．このとき，変数$x$の関数

について，次の各問に答えよ．

(1)　$2$次方程式$f(x)=0$が重解を持つようなすべての$a\text{，}b$を，座標平面上の点$(a,b)$として図示せよ．

(2)　$2$次方程式$f(x)=0$が$0<x<{\displaystyle \frac{1}{2}}$の範囲内にただ$1$つの解を持つようなすべての$a\text{，}b$を，座標平面上の点$(a,b)$として図示せよ．

(3)　放物線$y=f(x)$の頂点の座標を$(X,Y)$とする．点$(a,b)$が(2)の条件を満たしながら動くとき，点$(X,Y)$の軌跡を座標平面上に図示せよ．

【４】　$2$つの数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$が，$a_1=1\text{，}{b}_1=1$および

$\{\begin{array}{ll}{a}_{n+1}=2a_n+6b_n& \text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\\ b_{n+1}=2a_n+3b_n& \text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

で定められているとき，次の各問に答えよ．

(1)　$a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta (a_{n+1}-\alpha a_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を満たす定数$\alpha \text{，}\beta$の組を$2$組求めよ．

(2)　$a_n$を，$n$を用いて表せ．

(3)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_n}{b_n}}$を求めよ．

【５】　白球$6$個と黒球$4$個がある．

　はじめに，白球$6$個を横$1$列に並べる．次に，

　$1$から$6$の目がそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{6}}$の確率で出るサイコロを$1$つ投げて，出た目の数が$a$であれば，並んでいる球の左から$a$番目の球の左に黒球を$1$個入れる

という操作を$4$回繰り返す．

　例えば，

$1$回目に$1$の目

$2$回目に$5$の目

$3$回目に$5$の目

$4$回目に$2$の目

が出た場合の球の並びの変化は次の図のようになる．

はじめ
$1$回目の操作の後
$2$回目の操作の後
$3$回目の操作の後
$4$回目の操作の後

　最終的な$10$個の球の並びにおいて，一番左にある白球よりも左にある黒球の個数を$k$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)　$k=0$である確率を求めよ．

(2)　$k=1$である確率を求めよ．

(3)　$k$の期待値を求めよ．