2014　札幌医科大学　前期MathJax

【１】　三角形$\mathrm{ABC}$に内接する半径$R$の円がある．内接円と辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$との接点をそれぞれ$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$とする．また$\alpha =\angle \mathrm{A}\text{，}\beta =\angle \mathrm{B}\text{，}\gamma =\angle \mathrm{C}$とする．三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S_1\text{，}$三角形$\mathrm{DEF}$の面積を$S_2$とする．

(1)　$S_1$を$R\text{，}\tan {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}\text{，}\tan {\displaystyle \frac{\beta }{2}}\text{，}\tan {\displaystyle \frac{\gamma }{2}}$を用いて表せ．

(2)　$S_2$を$R\text{，}\cos {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}\text{，}\cos {\displaystyle \frac{\beta }{2}}\text{，}\cos {\displaystyle \frac{\gamma }{2}}$を用いて表せ．

　以後$\gamma ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

(3)　${\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}$を$\sin \alpha$と$\cos \alpha$を用いて表せ．

(4)　${\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}$の最大値を求めよ．

【２】　表と裏の出る確率が等しい硬貨を$n$回投げる．このとき，表が出る回数が$n$の半分以上である確率を$a_n$とし，表が出る回数が$n$の半分より大きい確率を$b_n$とする．

(1)　$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3$および$b_1\text{，}{b}_2\text{，}{b}_3$をそれぞれ求めよ．

(2)　$a_n-b_n$を$n$を用いて表せ．

(3)　$a_n$を$n$を用いて表せ．

【３】　$a$を$0<a<1$とする．座標空間の$4$点を$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,{\displaystyle \frac{1}{a}},0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,{\displaystyle \frac{1}{1-a}})$とする．また，$4$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を頂点とする四面体に内接する球を$S$とする．

(1)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る平面に直交し長さが$1$のベクトルを$a$を用いて表せ．

(2)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る平面と球$S$の接点の座標を$a$を用いて表せ．

(3)　球$S$の半径を$a$を用いて表せ．

(4)　球$S$の体積の最大値を求めよ．

【４】　関数$f(x)$を$f(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}}$とする．

(1)　関数$g(x)=\log (x+\sqrt{x^2+1})$の導関数を求めよ．

(2)　二つの曲線$y=f(x)$と$y=1-f(x)$で囲まれる図形の面積を求めよ．