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2014-11031-0101
2014 公立はこだて未来大学 前期
必須問題
配点60点
易□ 並□ 難□
【1】 次式で与えられる 2 つの放物線 C1 ,C2 について,以下の問いに答えよ.
C1 :y= x2 ,C 2:y =a⁢x 2+1
ただし, a は 0 でない定数とする.
問1 C1 と C 2 が 2 個の共有点をもつように,定数 a のとりうる値の範囲を求めよ.さらに,そのときの共有点の座標をすべて求めよ.
問2 a の値が問1で求めた範囲にあるとき,第 1 象限における C 1 と C 2 の共有点を P とする.点 P における C 1 と C 2 の接線をそれぞれ l1 ,l2 とする.また, l1 と l 2 および y 軸で囲まれた部分の面積を S1 ,C 1 と C 2 で囲まれた部分の面積を S 2 とする.このとき, S 2S1 を求めよ.
2014-11031-0102
【2】 次のように定められる 2 つの数列 { an } ,{ bn } について,以下の問いに答えよ.
an+ 1= 2⁢a n1 +an ,b n+1 =bn + 1an ,b 1=1 , b2= 4
問1 数列 { an } の一般項を求めよ.
問2 数列 { bn } の一般項を求めよ.
2014-11031-0103
【3】 6 個のさいころを同時に投げるとする.以下の問いに答えよ.
問1 出る目がすべて異なる確率を求めよ.
問2 出る目のうち,奇数の目が 3 個となる確率を求めよ.
問3 出る目の和が 9 となる確率を求めよ.
2014-11031-0104
数学I・数学II・数学A・数学B 選択問題
【1】 f⁡( x)= |x2 -3⁢x +2| とする.曲線 y =f⁡( x) を C とし,曲線 C 上の点 A ( a,f⁡ (a )) における接線を l とする.ただし, 1<a <2 とする.以下の問いに答えよ.
問1 接線 l の方程式を求めよ.
問2 曲線 C と接線 l の共有点のうち,接点 A とは異なる 2 つの点の x 座標を α , β ( α<β ) とするとき, β-α を a で表せ.
問3 曲線 C と接線 l で囲まれた部分の面積を S とするとき, S のとりうる値の範囲を求めよ.
2014-11031-0105
【2】 空間の点 O , A , B に対して, OA→ と OB → のなす角を θ ( 0<θ < π2 ) とする.以下の問いに答えよ.
問1 |OA →| =1 , | OB→ |=cos ⁡θ であるとき, OA→ と OB → のなす角を求めよ.さらに, ▵OAB の面積の最大値を求めよ.また,そのときの θ の値を求めよ.
問2 |OA →| =1 , | OB→ |=cos ⁡θ+2 ⁢sin⁡θ であるとき, ▵OAB の面積の最大値を求めよ.ただし,そのときの θ の値は求めなくてよい,
問3 |OA →| =cos⁡θ , | OB→ |=1- cos⁡θ であるとき, | OA→ +OB→ |2 の最小値を求めよ.ただし,そのときの θ の値は求めなくてよい.
2014-11031-0106
数学III 選択問題
【1】 行列 A =( 32 -2 -1 ), E=( 1 00 1 ) について,以下の問いに答えよ.ただし, n を正の整数, A1 =A とする.
問1 等式 A ⁢(A -E) =A-E が成り立つことを示せ.
問2 An +1- An を求めよ.
問3 An を求めよ.
2014-11031-0107
【2】 f⁡( x)= log⁡x , g⁡( x)= (log ⁡x) 2 とするとき,以下の問いに答えよ.
問1 関数 y =f⁡( x) と関数 y =g⁡ (x ) のグラフを 1 つの座標平面上にかけ.
問2 曲線 y =f⁡( x) と曲線 y =g⁡( x) で囲まれた部分の面積を求めよ.