2014　岩手県立大学　前期数学MathJax

【１】　以下の問いに答えなさい．

　$y=2(x-1)(x^2-2x-2)$で与えられる平面上の曲線$C$を考える．

[問１]　曲線$C$と$x$軸との交点の座標をすべて答えなさい．

[問２]　$x=a$で曲線$C$と接する接線の方程式を$a$を用いて答えなさい．

[問３]　$x=a$で曲線$C$と接する接線と$y$軸との交点の$y$座標を$b$とする．$-{\displaystyle \frac{1}{4}}\leqq a\leqq 3$における$b$の最小値と最大値を答えなさい．また，$b$の値が最小，最大となるときの$a$の値をそれぞれ答えなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

　$\sin \theta -\cos \theta$が無理数であることを示したい．ここで，$\theta$は以下を満たすものとする．

$\sin \theta \cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{4}}$ただし，${\displaystyle \frac{1}{4}}\pi <\theta <{\displaystyle \frac{1}{2}}\pi$

[問１]　$\theta$の値を答えなさい．

[問２]　$\sin \theta -\cos \theta$の値を答えなさい．

[問３]　[問２]で求めた値が無理数であることを背理法を用いて証明しなさい．なお，必要であれば$\sqrt{2}$と$\sqrt{3}$が無理数であることを利用してもよい．

【３】　以下の問いに答えなさい．

　次の数列$\{a_m\}$について，第$n$群が$n$個の項を含むように分ける．

$56\left|39\text{，}24\right|11\text{，}0\text{，}-9|-16\text{，}-21\text{，}-24\text{，}-25|-24\text{，}-21\text{，}-16\text{，}\cdots$

[問１]　この数列の一般項$a_m$を答えなさい．

[問２]　第$n$群の最初の項を$n$を用いて表しなさい．

[問３]　値がはじめて$175$以上となるのは，第何群の第何番目の項か，答えなさい．

【４】　以下の問いに答えなさい．

　右図のように，外接円と内接円の中心が同一となる$▵\mathrm{ABC}$を考える．この中心を$\mathrm{O}$とし，$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}\text{，}\mathrm{OC}$と$▵\mathrm{ABC}$の内接円との交点をそれぞれ$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$とする．このとき，$▵\mathrm{ABC}$の内接円は$▵\mathrm{DEF}$の外接円にあたる．すなわち，$▵\mathrm{ABC}$の内心が$▵\mathrm{DEF}$の外心となっている．

[問１]　$▵\mathrm{ABC}$および$▵\mathrm{DEF}$がいずれも正三角形であることを示しなさい．

[問２]　$▵\mathrm{ABC}$の外接円の半径$\mathrm{OA}$と$▵\mathrm{DEF}$の外接円の半径$\mathrm{OD}$との長さの比を求めなさい．

[問３]　ここで，改めて，$▵\mathrm{ABC}$を${(▵\mathrm{ABC})}_1\text{，}▵\mathrm{DEF}$を${(▵\mathrm{ABC})}_2$のように表し，一辺の長さが$a$である${(▵\mathrm{ABC})}_1$の内接円をもとに${(▵\mathrm{ABC})}_2$を描き，この${(▵\mathrm{ABC})}_2$内接円をもとに${(▵\mathrm{ABC})}_3$を描くということを繰り返していく．このようにして，${(▵\mathrm{ABC})}_n$を描いたとき，${(▵\mathrm{ABC})}_n$の一辺の長さを$a$を用いて表しなさい．