2014　宮城大学　前期MathJax

【１】　次の空欄$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{キ}}$にあてはまる数や式を，解答欄に書きなさい．

(1)　次の式を因数分解すれば，$2x^2+3xy+y^2+x-y-6=(\boxed{\text{ア}})(\boxed{\text{イ}})$となる．

【１】　次の空欄$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{キ}}$にあてはまる数や式を，解答欄に書きなさい．

(2)　$\mathrm{MIYAGIDAI}$のすべての文字を並べてできる順列のうち，$5$個の母音が隣り合わない場合は$\boxed{\text{ウ}}$通りある．

【１】　次の空欄$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{キ}}$にあてはまる数や式を，解答欄に書きなさい．

(3)　$i$を虚数単位とするとき，${(1+i)}^2=\boxed{\text{エ}}i$であり，${(1+i)}^{10}=\boxed{\text{オ}}$である．すると，${(1+i)}^{2014}+{(1-i)}^{2014}=\boxed{\text{カ}}$となる．

【１】　次の空欄$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{キ}}$にあてはまる数や式を，解答欄に書きなさい．

(4)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}}=\boxed{\text{キ}}$である．

【２】　次の空欄$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ク}}$にあてはまる数や式を，解答欄に書きなさい．

　初項$2\text{，}$公差$3$の等差数列$\{a_n\}$と，初項$1\text{，}$公差$4$の等差数列$\{b_n\}$がある．このとき，それぞれの一般項を$n$を用いて表せば，

$a_n=\boxed{\text{ア}}\text{，}{b}_n=\boxed{\text{イ}}$

である．

　また，数列$\{a_n\}$と数列$\{b_n\}$に共通に含まれる項を順に並べると，次のような数列$\{c_n\}$が得られる．

$c_1=5\text{，}{c}_2=\boxed{\text{ウ}}\text{，}{c}_3=\boxed{\text{エ}}\text{，}\cdots$

　したがって，数列$\{c_n\}$の一般項を$n$を用いて表せば，

$c_n=\boxed{\text{オ}}$

となる．

　また，数列$\{c_n\}$の第$p$項を$c_p$とするとき，数列$\{a_n\}$と数列$\{b_n\}$はともに項$c_p$を含む．よってそれぞれの項番号を自然数$p$を用いて表せば，数列$\{a_n\}$の場合は，

$n=\boxed{\text{カ}}$

であり，数列$\{b_n\}$の場合は，

$n=\boxed{\text{キ}}$

となる．よって，これらの項番号の差の絶対値を自然数$p$を用いて表せば，$\boxed{\text{ク}}$となる．

【３】　次の空欄$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{エ}}$にあてはまる数や式を，解答欄に書きなさい．

　$3$個のさいころを同時に投げるとき，次の順に問題を考える．

(1)　出た目の最大値が$4$以下である確率$P$は，$P=\boxed{\text{ア}}$である．

(2)　次に，出た目の最大値が$k$以下である事象を考える．この事象の確率$Q$を$k$を用いて表せば，$Q=\boxed{\text{イ}}$である．ただし，$k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5\text{，}6$とする．

(3)　また，出た目の最大値が$k$である事象を考える．この事象の確率$R$を$k$を用いて表せば，$R=\boxed{\text{ウ}}$である．ただし，$k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5\text{，}6$とする．

(4)　最後に，出た目の最大値の期待値$E$を求めれば，$E=\boxed{\text{エ}}$となる．

【４】　次の問いに答えなさい．

(1)　円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}=7\text{，}\mathrm{AD}=5$であるとき，辺$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．

(2)　一般に任意の四角形は必ずしも円に内接しない．では，相異なる$4$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$をこの順に並べた四角形$\mathrm{PQRS}$が円に内接するための「角度に関する必要十分条件」を一つだけ簡潔に示せ．ただし，証明は不要である．

(3)　平行四辺形$\mathrm{KLMN}$が円に内接すれば，この平行四辺形は長方形であることを証明せよ．