2014　宮城大学　後期MathJax

【１】　次の空欄$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ク}}$にあてはまる数や式を，解答欄に書きなさい．

(1)　$900$の正の約数は，全部で$\boxed{\text{ア}}$個ある．また，$900$の正の約数全体の和$S$を求めると$S=\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　次の空欄$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ク}}$にあてはまる数や式を，解答欄に書きなさい．

(2)　$1$辺の長さが$a$の正三角形$\mathrm{ABC}$があり，内部の$1$点$\mathrm{P}$から$3$辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$に下ろした垂線をそれぞれ$\mathrm{PD}\text{，}\mathrm{PE}\text{，}\mathrm{PF}$とする．このとき，次の$2$つの値を$a$を用いて表せば，

$▵\mathrm{ABC}=\boxed{\text{ウ}}\text{，}\mathrm{PD}+\mathrm{PE}+\mathrm{PF}=\boxed{\text{エ}}$

となる．

　したがって，点$\mathrm{P}$を三角形$\mathrm{ABC}$の内部のどこにとっても，

${\displaystyle \frac{\mathrm{PD}+\mathrm{PE}+\mathrm{PF}}{\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{オ}}}}{\boxed{\text{カ}}}}$

である．

【１】　次の空欄$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ク}}$にあてはまる数や式を，解答欄に書きなさい．

(3)　次の式を因数分解すれば$x^3-3x^2+4={(\boxed{\text{キ}})}^2(\boxed{\text{ク}})$である．

【２】　次の空欄$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ケ}}$にあてはまる数や式を，解答欄に書きなさい．

　$2$つの放物線$C_1\text{：}y=x^2\text{，}{C}_2\text{：}y=x^2-4x+8$があり，共通接線を$l$とする．このとき，$C_1$上の点$(t,t^2)$における接線の方程式を$t$を用いて表せば，

$y=\boxed{\text{ア}}x+\boxed{\text{イ}}\cdots \text{①}$

である．

　同様に$C_2$上の点$(s,s^2-4s+8)$における接線の方程式を$s$を用いて表せば，

$y=\boxed{\text{ウ}}x+\boxed{\text{エ}}\cdots \text{②}$

である．

　$\text{①}$と$\text{②}$は共通接線$l$として一致するから，次の連立方程式が成り立つ．

$\{\begin{array}{l}\boxed{\text{ア}}=\boxed{\text{ウ}}\\ \boxed{\text{イ}}=\boxed{\text{エ}}\end{array}$

　これを解けば，

$s=\boxed{\text{オ}}\text{，}t=\boxed{\text{カ}}$

となる．

　よって求める共通接線$l$の方程式は，

$y=\boxed{\text{キ}}x+\boxed{\text{ク}}$

となる．

　また，$2$つの放物線$C_1\text{，}{C}_2$と共通接線$l$で囲まれた図形の面積$S$は，$S=\boxed{\text{ケ}}$となる．

【３】　次の空欄$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{コ}}$にあてはまる数や式を，解答欄に書きなさい．

　$▵\mathrm{OAB}$において，$2$辺$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}$を$3:2\text{，}2:1$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$とし，$\mathrm{BC}$と$\mathrm{AD}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．

　$▵\mathrm{OAD}$において，$\mathrm{AP}:\mathrm{PD}=s:(1-s)$とおく．このとき，条件と$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$と$s$を用いて，

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\boxed{\text{ア}}\overrightarrow{a}+\boxed{\text{イ}}\overrightarrow{b}\cdots \text{①}$

と表すことができる．同様に$▵\mathrm{OBC}$において，$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}=t:(1-t)$とおけば，$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$と$t$を用いて，

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\boxed{\text{ウ}}\overrightarrow{a}+\boxed{\text{エ}}\overrightarrow{b}\cdots \text{②}$

と表すことができる．

　したがって，$\text{①}$と$\text{②}$より次の等式が成り立つ．

$\boxed{\text{ア}}\overrightarrow{a}+\boxed{\text{イ}}\overrightarrow{b}=\boxed{\text{ウ}}\overrightarrow{a}+\boxed{\text{エ}}\overrightarrow{b}$

　ここで，$\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}\text{，}\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}$であり，かつ$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$は平行でないという条件のもとで連立方程式を解けば，

$s=\boxed{\text{オ}}\text{，}t=\boxed{\text{カ}}$

である．よって，

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\boxed{\text{キ}}\overrightarrow{a}+\boxed{\text{ク}}\overrightarrow{b}$

となる．この結果，直線$\mathrm{OP}$の延長と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\mathrm{AQ}:\mathrm{BQ}=\boxed{\text{ケ}}:\boxed{\text{コ}}$となる．

【４】　次の問いに答えなさい．

(1)　$1$から$9$までの数字が書かれた$9$枚のカードの中から同時に$2$枚のカードを引く試行を考える．引いた$2$枚のカードのうち大きい方の数を$X$とするとき，$X=5$となる確率を求めよ．

(2)　$1$から$n$までの数字が書かれた$n$枚のカードの中から同時に$2$枚のカードを引く試行を考える．引いた$2$枚のカードのうち大きい方の数を$X$とするとき，$X=k$となる確率$P(X=k)$を$n$と$k$を用いて表せ．ただし，$k=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}n-1\text{，}n$とする．

(3)　(2)の条件下で，大きい方の数$X$の期待値$E(X)$を$n$を用いて表せ．