2014　会津大学　前期MathJax

【１】　(1)，(2)の問いに答えよ．また，(3)から(5)までの空欄をうめよ．

(1)　次の積分を求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．

(ⅰ)　${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{dx}{x{(\log x)}^2}}=\boxed{\text{イ}}$

【１】　(1)，(2)の問いに答えよ．また，(3)から(5)までの空欄をうめよ．

(1)　次の積分を求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．

(ⅱ)　${\displaystyle {\int }_{6\pi }^{7\pi }}x\sin xdx=\boxed{\text{ロ}}$

【１】　(1)，(2)の問いに答えよ．また，(3)から(5)までの空欄をうめよ．

(1)　次の積分を求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．

(ⅲ)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}\cos 2x\cos xdx=\boxed{\text{ハ}}$

【１】　(1)，(2)の問いに答えよ．また，(3)から(5)までの空欄をうめよ．

(2)　次の極限を求めよ．

$\underset{n\to \infty }{\lim }(\sqrt{n(n+3)}-n)=\boxed{\text{ニ}}$

【１】　(1)，(2)の問いに答えよ．また，(3)から(5)までの空欄をうめよ．

(3)　$3^x=5^y={15}^6$をみたす実数$x\text{，}y$について，${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}=\boxed{\text{ホ}}$である．

【１】　(1)，(2)の問いに答えよ．また，(3)から(5)までの空欄をうめよ．

(4)　$2$点$\mathrm{A}(-1,0)\text{，}\mathrm{B}(2,0)$からの距離の比が$1:2$である点$\mathrm{P}(x,y)$の軌跡を表す曲線の方程式は$\boxed{\text{ヘ}}$である．

【１】　(1)，(2)の問いに答えよ．また，(3)から(5)までの空欄をうめよ．

(5)　$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,3,2)\text{，}\overrightarrow{b}=(1,0,-2)$の両方に垂直で，大きさが$1$であるベクトルは$\boxed{\text{ト}}$と$\boxed{\text{チ}}$である．

【２】　$E$を$2$次の単位行列，$O$を$2$次の零行列とする．正の実数$a$に対して，行列$A=\left(\begin{array}{cc}1& -a\\ a& 1\end{array}\right)$が

$A^2-2A+4E=O$

をみたすとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a$を求めよ．$\boxed{\text{イ}}$

(2)　$A^3$を求めよ．$\boxed{\text{ロ}}$

(3)　$A^8$を求めよ．$\boxed{\text{ハ}}$

【３】　四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=5\text{，}\mathrm{BC}=3\text{，}\mathrm{CD}=5\text{，}\angle \mathrm{BCD}=120\mathrm{°}$であり，対角線$\mathrm{BD}$は$\angle \mathrm{ABC}$を$2$等分している．このとき，以下の空欄をうめよ．

(1)　$\mathrm{BD}=\boxed{\text{イ}}$である．

(2)　$\angle \mathrm{ABD}=\angle \mathrm{CBD}=\theta$とするとき，$\sin \theta =\boxed{\text{ロ}}$である．

(3)　四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$\boxed{\text{ハ}}$である．

【４】　$2$つの袋$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$がある．袋$\mathrm{A}$には白玉が$2$つと，赤玉，青玉，黒玉が$1$つずつ，合計$5$つの玉が入っている．袋$\mathrm{B}$には白玉と赤玉が$1$つずつ，青玉が$3$つの合計$5$つの玉が入っている．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　袋$\mathrm{A}$と袋$\mathrm{B}$から$1$つずつ玉を取り出すとき，同じ色になる確率を求めよ．$\boxed{\text{イ}}$

(2)　袋$\mathrm{A}$と袋$\mathrm{B}$から$1$つずつ玉を取り出すとき，異なる色になる確率を求めよ．$\boxed{\text{ロ}}$

(3)　袋$\mathrm{A}$からは$1$つ，袋$\mathrm{B}$からは$3$つ同時に玉を取り出すとき，その$4$つの玉の色が$2$色以上になる確率を求めよ．$\boxed{\text{ハ}}$

(4)　袋$\mathrm{A}$から$2$つ同時に玉を取り出し，袋$\mathrm{B}$からも$2$つ同時に玉を取り出すとき，その$4$つの玉の色がすべて異なる確率を求めよ．$\boxed{\text{ニ}}$

【５】　$a\text{，}b$を実数の定数とする．関数$f(x)=-x^3+3x^2+ax+b$について，以下の問いに答えよ．

（結論に至る過程も記述すること．）

(1)　$f(x)$が極大値と極小値をもつための条件を求めよ．

(2)　$f(x)$が$x=p$で極大，$x=q$で極小となり，かつ$p^2+q^2=10$が成り立つとする．このとき，$a\text{，}p\text{，}q$の値を求めよ．

(3)　(2)において，方程式$f(x)=0$が異なる$3$つの実数解をもつための条件を求めよ．

【６】　$n$を自然数とするとき，$7^{n-1}+2^{n+1}$は$5$の倍数であることを数学的帰納法によって証明せよ．