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2014 福島県立医科大学 前期

易□ 並□ 難□

【1】 以下の各問いに答えよ.

(1)  a は実数とする.極限 limx +0 x2 tad t を調べよ.

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易□ 並□ 難□

【1】 以下の各問いに答えよ.

(2)  α β (0< αβ< π2 ) tan αtan β=1 を満たすとき, α+β =π 2 であることを示せ.

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【1】 以下の各問いに答えよ.

(3) 点 P ( x,y ) が楕円 x 24 +y2 =1 の上を動くとき, 3x 2-16 xy -12 y2 の値が最大になる点 P の座標を求めよ.

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【1】 以下の各問いに答えよ.

(4) 公正なサイコロを 2 回振り, 1 回目に出た目を a 2 回目に出た目を b とする.また,公正なコインを 1 回投げ,表が出たら c =1 裏が出たら c =-1 とする. O を原点とする座標平面上の 2 A B A ( a,b) B ( b,ca ) と定める.次の問いに答えよ.

(ⅰ)  OA OB が垂直になる確率を求めよ.

(ⅱ)  OA OB が平行になる確率を求めよ.

(ⅲ) 内積 OA OB の期待値を求めよ.

(ⅳ)  OAB の面積の期待値を求めよ.ただし, OA OB が平行になるときは面積を 0 とする.

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【2】  OA=OB= 1 AOB< π2 OAB を含む平面を H とする.平面 H 上に無い点 C から平面 H 直線 OA 直線 OB に降ろした垂線の足をそれぞれ D E F とする. a =OA b = OB c =OC p=a b q= b c r= c a として,以下の問いに答えよ.ただし, a b a b の内積である.

(1)  a DE =0 であることを示せ.

(2)  OE OF をそれぞれ a b c および p q r で表せ.

(3)  EF の長さを p q r で表せ.

(4)  p= 15 q=1 r=2 であるとき, OD の長さを求めよ.

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【3】  a は定数とする.関数 f (x )= 1 -acos x1 +sinx 0x π について,以下の問いに答えよ.

(1)  t= -cos x1+ sinx 0<x< π とおくとき, d xdt t で表せ.

(2)  f( x) 0 <x<π の範囲で極値をもつように a の値の範囲を定めよ.また,その極値を a で表せ.

(3)  a が(2)で定めた範囲にあるとき, 2 ( 0,f (0 ) ( π,f (π )) を通る直線と y =f (x ) のグラフで囲まれる図形を x 軸の周りに回転してできる回転体の体積を a で表せ.

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