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2014-11151-0101
2014 福島県立医科大学 前期
易□ 並□ 難□
【1】 以下の各問いに答えよ.
(1) a は実数とする.極限 limx→ +0 ∫ x2 ta⁢d t を調べよ.
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(2) α ,β (0< α≦β< π2 ) が tan ⁡α⁢tan ⁡β=1 を満たすとき, α+β =π 2 であることを示せ.
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(3) 点 P ( x,y ) が楕円 x 24 +y2 =1 の上を動くとき, 3⁢x 2-16 ⁢x⁢y -12⁢ y2 の値が最大になる点 P の座標を求めよ.
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(4) 公正なサイコロを 2 回振り, 1 回目に出た目を a , 2 回目に出た目を b とする.また,公正なコインを 1 回投げ,表が出たら c =1 , 裏が出たら c =-1 とする. O を原点とする座標平面上の 2 点 A ,B を A ( a,b) ,B ( b,c⁢a ) と定める.次の問いに答えよ.
(ⅰ) OA→ と OB → が垂直になる確率を求めよ.
(ⅱ) OA→ と OB → が平行になる確率を求めよ.
(ⅲ) 内積 OA→ ⋅OB→ の期待値を求めよ.
(ⅳ) ▵OAB の面積の期待値を求めよ.ただし, OA→ と OB → が平行になるときは面積を 0 とする.
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【2】 OA=OB= 1 ,∠ AOB< π2 の ▵ OAB を含む平面を H とする.平面 H 上に無い点 C から平面 H , 直線 OA , 直線 OB に降ろした垂線の足をそれぞれ D ,E , F とする. a→ =OA → ,b →= OB→ , c→ =OC→ , p=a →⋅ b→ , q= b→⋅ c→ , r= c→⋅ a→ として,以下の問いに答えよ.ただし, a→ ⋅b → は a → と b → の内積である.
(1) a→ ⋅DE →=0 であることを示せ.
(2) OE→ と OF → をそれぞれ a→ , b→ , c→ および p , q ,r で表せ.
(3) EF の長さを p , q ,r で表せ.
(4) p= 15 , q=1 , r=2 であるとき, OD の長さを求めよ.
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【3】 a は定数とする.関数 f ⁡(x )= 1 -a⁢cos ⁡x1 +sin⁡x ( 0≦x≦ π ) について,以下の問いに答えよ.
(1) t= -cos⁡ x1+ sin⁡x ( 0<x< π ) とおくとき, d xdt を t で表せ.
(2) f⁡( x) が 0 <x<π の範囲で極値をもつように a の値の範囲を定めよ.また,その極値を a で表せ.
(3) a が(2)で定めた範囲にあるとき, 2 点 ( 0,f⁡ (0 ), ( π,f⁡ (π )) を通る直線と y =f⁡ (x ) のグラフで囲まれる図形を x 軸の周りに回転してできる回転体の体積を a で表せ.