2014　高崎経済大学　前期MathJax

【１】　次の各問に答えよ．

(1)　$2$次方程式$3x^2-5x+3=0$を解け．

【１】　次の各問に答えよ．

(2)　$x\leqq 2$のとき，$4\cdot 2^{2x}-2^{x+2}+2$の最小値とそのときの$x$の値，最大値とそのときの$x$の値を求めよ．

【２】　あるクラスに男子$4$名（$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$），女子$5$名（$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}\text{，}\mathrm{H}\text{，}\mathrm{I}$），計$9$名の生徒がいる．以下の各問に答えよ．

　このクラスでは，右図のように先生$1$名を含めて$10$名で$1$つの丸いテーブルを囲んで座っている．このとき，以下の並び方について答えよ．

(1)　先生の右隣りに男子生徒が座る並び方は何通りあるか．

(2)　先生の両隣りに男子生徒が座る並び方は何通りあるか．

(3)　女子生徒同士が隣り合わないように座る並び方は何通りあるか．

いま，このクラスで$4$名の発表者を選ぶことになった．このとき，以下の発表者の選び方について答えよ．

(4)　生徒全員からの発表者の選び方は何通りあるか．

(5)　男子生徒から$2$名かつ女子生徒から$2$名の発表者の選び方は何通りあるか．

【３】　放物線$y=2x^2+px+q$上の点$(1,-1)$における接線が原点を通るとき，以下の各問に答えよ．

(1)　定数$p\text{，}q$の値を求めよ．

(2)　原点からこの放物線に引いた接線の方程式をすべて求めよ．

(3)　この放物線と(2)の接線で囲まれる部分の面積を求めよ．

【４】　数列$1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,1,2,\cdots$の第$n$項を$a_n$とする．以下の各問に答えよ．

(1)　$a_{10}$を求めよ．

(2)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{50}}{a}_k$を求めよ．

(3)　$a_m-a_{m+1}>99999$を満たす最小の自然数$m$の値を求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$とする．

【５】　$1$辺の長さが$10$の正三角形$\mathrm{ABC}$がある．辺$\mathrm{AB}$上に$\mathrm{AD}=5$となるように点$\mathrm{D}$をとり，辺$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{AE}=8$となるように点$\mathrm{E}$をとる．また，$\mathrm{BE}$と$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とし，直線$\mathrm{AF}$と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{G}$とする．以下の各問に答えよ．

(1)　線分$\mathrm{BG}$の長さを求めよ．

(2)　線分$\mathrm{GF}$の長さを求めよ．

(3)　$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に垂線$\mathrm{AH}$を下ろす．$\mathrm{AH}$と$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{I}$とするとき，線分$\mathrm{IH}$の長さを求めよ．

(4)　三角形$\mathrm{IFH}$の面積を求めよ．