2014　前橋工科大学　前期MathJax

【１】　$n$を$3$以上の奇数とし，

$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{k^2+4k+3}}\text{，}{T}_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{{(-1)}^{k-1}}{k^2+4k+3}}$

とする．次の問いに答えなさい．

(1)　$S_n\text{，}{T}_n$を$n$を用いて表しなさい．

(2)　$S_n>4T_n$となる最小の奇数$n$を求めなさい．

【２】　空間内に，$4$点$\mathrm{A}(2,-3,0)\text{，}\mathrm{B}(1,-2,1)\text{，}\mathrm{C}(2,3,0)\text{，}\mathrm{D}(2t+3,t+2,-2t-1)$がある．ただし，$t$は実数とする．次の問いに答えなさい．

(1)　直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{CD}$が平行となる$t$の値を求めなさい．

(2)　直線$\mathrm{AB}$と$\mathrm{CD}$が平行でないとき，$2$直線の交点$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表しなさい．ただし，直線$\mathrm{AB}$と$\mathrm{CD}$が平行でないとき，それらが常に交わることは証明なしに用いてよい．

(3)　(2)の点$\mathrm{P}$に対して，直線$\mathrm{CP}$と$\mathrm{AB}$が直交するときの$t$の値を求めなさい．また，このとき，点$\mathrm{D}$は線分$\mathrm{CP}$の中点であることを示しなさい．

【３】　曲線$C\text{：}y={\sin }^{2}x-2{\cos }^2{\displaystyle \frac{x}{2}}+2\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$がある．次の問いに答えなさい．

(1)　曲線$C$の概形をかきなさい．ただし，凹凸は調べなくてよい．

(2)　曲線$C$上に点$(\alpha ,\beta )(0\leqq \alpha \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$をとる．直線$y=\beta \text{，}$直線$x=\pi$および曲線$C$で囲まれた図形の面積が${\displaystyle \frac{1}{4}}\sin 2\alpha +\sin \alpha$となるとき，$\cos \alpha$の値を求めなさい．

【４】　関数$f(x)={\displaystyle {\int }_1^x}t(x-t)\log (t^2+1)dt$に対して，$g(x)=f^{\prime }(x)$とおく．次の問いに答えなさい．

(1)　$g(1)\text{，}g(-1)$を求めなさい．

(2)　関数$y=g(x)$の増減，極値，グラフの凹凸を調べ，そのグラフをかきなさい．

(3)　$f(x)$の極小値を求めなさい．