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2014-11261-0101
2014 首都大学東京 前期
人文・社会系,経営学系
易□ 並□ 難□
【1】 5 で割ったときの余りが 2 または 3 である 1000 以下の正の奇数を小さい順に並べたものを a1 ,⋯ , aN とする.例えば, a1 =3 ,a 2=7 , a3 =13 である.以下の問いに答えなさい.
(1) N を求めなさい.
(2) a1 +⋯+ aN を求めなさい.
2014-11261-0102
【2】 原点を O とする座標平面において,点 A の座標を ( 2,0 ) とし,点 P は直線 y =3⁢ x 上にあるものとする.このとき,以下の問いに答えなさい.
(1) 三角形 AOP の外接円の半径が 5 となるときの点 P の座標を求めなさい.
(2) ∠P =45⁢ ° となるときの点 P の座標を求めなさい.
(3) ∠A =45⁢ ° となるときの三角形 AOP の面積を求めなさい.
2014-11261-0103
【3】 f⁡( x)= x⁢( x-2 )-6 ⁢| x| とするとき,以下の問いに答えなさい.
(1) f⁡( x) の最小値を求めなさい.
(2) 曲線 y =f⁡( x) 上の点 A (t ,f⁡( t) ) ( t>0 ) を通る接線が曲線 y =f⁡ (x ) の x <0 の部分と点 B で接しているとき,点 A ,B の座標と接線の方程式を求めなさい.
(3) (2)において曲線 y =f⁡ (x ) と線分 AB で囲まれる部分の面積を求めなさい.
2014-11261-0104
【4】 大小二つのさいころを同時にふって,出た目の値をそれぞれ a , b とする.領域
y≧- x2 +a かつ ( x-b) 2+ (y -b) 2≦ b2
の面積を S とする.ただし,空集合の面積は 0 とする.以下の問いに答えなさい.
(1) S= π⁢b 22 となる確率 p 1 を求めなさい.
(2) S=0 となる確率 p 2 を求めなさい.
2014-11261-0105
都市教養,都市環境,システムデザイン,
健康福祉(放射線)学部
【1】 s ,t , u を実数, i を虚数単位とし, ω= -1+ 3⁢i 2 とする.方程式
f⁡( x)= x4+ s⁢x3 -t⁢ x2+u ⁢x+1 =0
が ω を解にもつとき,以下の問いに答えなさい.
(1) -t=s +1 ,u= s であることを示しなさい.
(2) f⁡( ω2 )=0 であることを示しなさい.
(3) 方程式 f ⁡(x )=0 が ω , ω2 と異なる解 α を 2 重解にもつような s と α の組 ( s,α ) をすべて求めなさい.
2014-11261-0106
【2】 2 次正方行列 M =( ab cd ) についての条件
(*) a=d かつ b =-c
を考える.(*)を満たす M に対して,実数 f ⁡(M ) を f ⁡(M )= a2+ b2 と定める.以下の問いに答えよ.
(1) 2 次正方行列 A , B がともに(*)を満たすならば,積 A ⁢B も(*)を満たすことを証明しなさい.
(2) 2 次正方行列 A , B がともに(*)を満たすならば, f⁡( A⁢B) =f⁡( A)⁢ f⁡( B) が成り立つことを証明しなさい.
(3) A=16⁢ (1 -3 3 1 ) に対して f ⁡( An ) が十進法で 10 けた以上となる自然数 n のうち最小のものを求めなさい.ただし,本問においては log10⁡ 2=0.301 とする.
2014-11261-0107
【3】 f⁡( x)= x⁢e -x , t>1 とするとき,以下の問いに答えなさい.
(1) 曲線 y =f⁡( x) と直線 y =x t のすべての交点の座標を求めなさい.
(2) (1)のような y =f⁡( x) と y = xt で囲まれる部分の面積 S ⁡(t ) を求めなさい.
(3) t が 1 より大きい実数全体を動くとき,関数 g ⁡(t )= t log⁡t ⁢ ( 1-S⁡ (t )) の最小値を求めなさい.
2014-11261-0108
都市教養(数理科学)学部
【1】 xy 平面上で x 座標と y 座標がともに自然数であるような点 ( m,n ) の各々に,自然数 a ⁡(m ,n) が割り当てられている. a⁡( 1,1 )= 1 であり,すべての m , n に対して次の規則が成り立っているとする.
a⁡( m+1, n)= a⁡( m,n) +m+n
a⁡( m,n+ 1)= a⁡( m,n) +m+n -1
このとき,以下の問いに答えなさい.
(1) a⁡( 1,3 ) および a ⁡(2 ,2) の値を求めなさい.
(2) 各々の自然数 n に対して an= a⁡( n,n ) とおいて数列 { an } を定めるとき, an+ 1 を a n と n の式で表しなさい.
(3) a100 の値を求めなさい.
2014-11261-0109
【2】 空間内の 4 点 O ,A , B ,C について,どの 3 点も同一直線上にはないとする.また,正の実数 a , b は 2⁢a <b<2 ⁢a を満たすとし, OA=OB =OC=a , AB=BC =CA=b とする.以下の問いに答えなさい.
(1) 三角形 OAB は鈍角三角形であることを示しなさい.
(2) 線分 OA , OB ,OC 上(ただし,端点を除く)にそれぞれ点 A ′ ,B ′ ,C ′ があり,三角形 A ′B ′C ′ は正三角形であるとする.このとき,直線 AB と直線 A′ B′ は平行であることを示しなさい.
2014-11261-0110
【3】 xy 平面において, x 軸の正の部分に中心 A をもつ半径 1 の円 C が,直線 y =x⁢tan ⁡t (0 <t< π 2 ) に点 P で接している.以下の問いに答えなさい.
(1) 点 A と点 P の x 座標を求めなさい.
(2) x 軸の正の部分と円 C と直線 y =x⁢tan ⁡t で囲まれる部分を x 軸の周りに回転した立体の体積 V ⁡(t ) を求めなさい.
(3) 極限 limt→ +0 t⁢V⁡ (t ) を求めなさい.