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2014 首都大学東京 前期

人文・社会系,経営学系

易□ 並□ 難□

【1】  5 で割ったときの余りが 2 または 3 である 1000 以下の正の奇数を小さい順に並べたものを a1 aN とする.例えば, a1 =3 a 2=7 a3 =13 である.以下の問いに答えなさい.

(1)  N を求めなさい.

(2)  a1 ++ aN を求めなさい.

2014 首都大学東京 前期

人文・社会系,経営学系

易□ 並□ 難□

【2】 原点を O とする座標平面において,点 A の座標を ( 2,0 ) とし,点 P は直線 y =3 x 上にあるものとする.このとき,以下の問いに答えなさい.

(1) 三角形 AOP の外接円の半径が 5 となるときの点 P の座標を求めなさい.

(2)  P =45 ° となるときの点 P の座標を求めなさい.

(3)  A =45 ° となるときの三角形 AOP の面積を求めなさい.

2014 首都大学東京 前期

人文・社会系,経営学系

易□ 並□ 難□

【3】  f( x)= x( x-2 )-6 | x| とするとき,以下の問いに答えなさい.

(1)  f( x) の最小値を求めなさい.

(2) 曲線 y =f( x) 上の点 A (t ,f( t) ) t>0 を通る接線が曲線 y =f (x ) x <0 の部分と点 B で接しているとき,点 A B の座標と接線の方程式を求めなさい.

(3) (2)において曲線 y =f (x ) と線分 AB で囲まれる部分の面積を求めなさい.

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人文・社会系,経営学系

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【4】 大小二つのさいころを同時にふって,出た目の値をそれぞれ a b とする.領域

y- x2 +a かつ ( x-b) 2+ (y -b) 2 b2

の面積を S とする.ただし,空集合の面積は 0 とする.以下の問いに答えなさい.

(1)  S= πb 22 となる確率 p 1 を求めなさい.

(2)  S=0 となる確率 p 2 を求めなさい.

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都市教養,都市環境,システムデザイン,

健康福祉(放射線)学部

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【1】  s t u を実数, i を虚数単位とし, ω= -1+ 3i 2 とする.方程式

f( x)= x4+ sx3 -t x2+u x+1 =0

ω を解にもつとき,以下の問いに答えなさい.

(1)  -t=s +1 u= s であることを示しなさい.

(2)  f( ω2 )=0 であることを示しなさい.

(3) 方程式 f (x )=0 ω ω2 と異なる解 α 2 重解にもつような s α の組 ( s,α ) をすべて求めなさい.

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都市教養,都市環境,システムデザイン,

健康福祉(放射線)学部

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【2】  2 次正方行列 M =( ab cd ) についての条件

(*)  a=d かつ b =-c

を考える.(*)を満たす M に対して,実数 f (M ) f (M )= a2+ b2 と定める.以下の問いに答えよ.

(1)  2 次正方行列 A B がともに(*)を満たすならば,積 A B も(*)を満たすことを証明しなさい.

(2)  2 次正方行列 A B がともに(*)を満たすならば, f( AB) =f( A) f( B) が成り立つことを証明しなさい.

(3)  A=16 (1 -3 3 1 ) に対して f ( An ) が十進法で 10 けた以上となる自然数 n のうち最小のものを求めなさい.ただし,本問においては log10 2=0.301 とする.

2014 首都大学東京 前期

都市教養,都市環境,システムデザイン,

健康福祉(放射線)学部

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【3】  f( x)= xe -x t>1 とするとき,以下の問いに答えなさい.

(1) 曲線 y =f( x) と直線 y =x t のすべての交点の座標を求めなさい.

(2) (1)のような y =f( x) y = xt で囲まれる部分の面積 S (t ) を求めなさい.

(3)  t 1 より大きい実数全体を動くとき,関数 g (t )= t logt ( 1-S (t )) の最小値を求めなさい.

2014 首都大学東京 前期

都市教養(数理科学)学部

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【1】  xy 平面上で x 座標と y 座標がともに自然数であるような点 ( m,n ) の各々に,自然数 a (m ,n) が割り当てられている. a( 1,1 )= 1 であり,すべての m n に対して次の規則が成り立っているとする.

a( m+1, n)= a( m,n) +m+n

a( m,n+ 1)= a( m,n) +m+n -1

このとき,以下の問いに答えなさい.

(1)  a( 1,3 ) および a (2 ,2) の値を求めなさい.

(2) 各々の自然数 n に対して an= a( n,n ) とおいて数列 { an } を定めるとき, an+ 1 a n n の式で表しなさい.

(3)  a100 の値を求めなさい.

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都市教養(数理科学)学部

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【2】 空間内の 4 O A B C について,どの 3 点も同一直線上にはないとする.また,正の実数 a b 2a <b<2 a を満たすとし, OA=OB =OC=a AB=BC =CA=b とする.以下の問いに答えなさい.

(1) 三角形 OAB は鈍角三角形であることを示しなさい.

(2) 線分 OA OB OC 上(ただし,端点を除く)にそれぞれ点 A B C があり,三角形 A B C は正三角形であるとする.このとき,直線 AB と直線 A B は平行であることを示しなさい.

2014 首都大学東京 前期

都市教養(数理科学)学部

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【3】  xy 平面において, x 軸の正の部分に中心 A をもつ半径 1 の円 C が,直線 y =xtan t (0 <t< π 2 ) に点 P で接している.以下の問いに答えなさい.

(1) 点 A と点 P x 座標を求めなさい.

(2)  x 軸の正の部分と円 C と直線 y =xtan t で囲まれる部分を x 軸の周りに回転した立体の体積 V (t ) を求めなさい.

(3) 極限 limt +0 tV (t ) を求めなさい.

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