2014　横浜市立大　前期医学科MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c$を相異なる実数とする．$x\text{，}y\text{，}z$に関する連立$3$元$1$次方程式

$\{\begin{array}{l}x-ay+a^{2}z=a^4\\ x-by+b^{2}z=b^4\\ x-cy+c^{2}z=c^4\end{array}$

を解きたい．その解を基本対称式

$A=a+b+c$

$B=ab+bc+ca$

$C=abc$

を用いて表せ$\boxed{\text{(1)}}$．

【１】　以下の問いに答えよ．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(2)　平面上に$3$点$\mathrm{A}(2,3)\text{，}\mathrm{B}(1,2)\text{，}\mathrm{C}(3,1)$をとる．このとき，三角形$\mathrm{ABC}$の内心を求めよ$\boxed{\text{(2)}}$．

【１】　以下の問いに答えよ．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(3)　行列$A$を

$A=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}& -{\displaystyle \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}}\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}}& {\displaystyle \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}\end{array}\right)$

とおく．このとき，行列の和

$A+A^2+\cdots +A^7+A^8$

を（簡潔な形で）求めよ$\boxed{\text{(3)}}$．

【２】　ある閉区間$D$で与えられた関数$f(x)$は，$2$階微分可能で，第$2$次導関数$f^{″}(x)$が連続で，更に$f^{″}(x)<0$と仮定する．以下の問いに答えよ．

(1)　$a_1<a_2<a_3$を満たす$D$の$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3$に対して

${\displaystyle \frac{f(a_2)-f(a_1)}{a_2-a_1}}>{\displaystyle \frac{f(a_3)-f(a_2)}{a_3-a_2}}$

を示せ．

(2)　$x_1\text{，}{x}_2$を$D$の実数とする．$0\leqq \alpha \leqq 1$を満たす$\alpha$に対して

$f(\alpha x_1+(1-\alpha )x_2)\geqq \alpha f(x_1)+(1-\alpha )f(x_2)$

を示せ．

(3)　$x_1\text{，}{x}_2\text{，}{x}_3$を$D$の実数とする．${\alpha }_1\text{，}{\alpha }_2\text{，}{\alpha }_3\geqq 0$および${\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3=1$を満たす${\alpha }_1\text{，}{\alpha }_2\text{，}{\alpha }_3$に対して

$f({\alpha }_1{x}_1+{\alpha }_2{x}_2+{\alpha }_3{x}_3)\geqq {\alpha }_{1}f(x_1)+{\alpha }_{2}f(x_2)+{\alpha }_{3}f(x_3)$

を示せ．

(4)　$D=(0,\infty )$とする．上の議論を用いて，$D$の$x_1\text{，}{x}_2\text{，}{x}_3$に対して不等式

${\displaystyle \frac{x_1+x_2+x_3}{3}}\geqq \sqrt[3]{x_1{x}_2{x}_3}$

を示せ．

【３】　$a$を正の実数とする．放物線$y^2=4ax$上に$2$点$\mathrm{O}(0,0)$と$\mathrm{A}(x_1,y_1)$をとる．$y_1>0$として，以下の問いに答えよ．

(1)　$\alpha >0$として，関数$F(t)$を

$F(t)={\displaystyle \frac{1}{2}}\{t\sqrt{t^2+\alpha }+\alpha \log (t+\sqrt{t^2+\alpha })\}$

とおく．導関数$F^{\prime }(t)$を求めよ．

(2)　点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{A}$までの曲線の長さ$L$を$x_1$の関数として表せ．ただし，$x=0$で値が発散する関数$g(x)$については

${\displaystyle {\int }_0^a}g(x)dx=\underset{s\to +0}{\lim }{\displaystyle {\int }_s^a}g(x)dx$

と解釈する（$a>s>0$）．

【４】　$n$を$4$以上の整数とする．$1$番から$n$番までの番号がふられたボールが$1$つずつある．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　以下のような操作でボールを$1$列に並べる：

1.　$1$番目のボールを適当な位置におく．

2.　$2$番のボールを$1$番のボールの左または右に同じ確率でおく．

3.　$3$番のボールをすでに並んでいる$2$つのボールの左または間または右に同じ確率でおく．

4.　以下$n$番まで番号順に，$k$番のボールを，すでに並んでいるボールの一番左または間または右に同じ確率でおく，ことを繰り返す．

　例えば，左から$2$番，$1$番，$3$番のボールが並んでいるとき，$4$番のボールが$2$番と$1$番の間におかれる確率は${\displaystyle \frac{1}{4}}$である．

$n$番のボールをおき終えたとき，$i$番のボールが左から$j$番目に並ぶ確率は${\displaystyle \frac{1}{n}}$であることを証明せよ．ただし，$i$と$j$は$1$以上，$n$以下の整数とする．

(2)　(1)のボールの列を，（左から）番号順に並び替えるため，以下の操作を考える：

隣り合った$2$つのボールの組で，左のボールの番号が右のそれより大きなもの（入れ替え可能な組と呼ぶ）が存在するとき，そのようなボールの組を$1$つ選び，入れ替える．

入れ替え可能な組があった場合に，入れ替える組をどのように選んだとしても，この操作を繰り返すことにより，すべてのボールの列は，必ず番号順の列になることを証明せよ．

(3)　(2)の操作の回数は，入れ替える組の選び方とは無関係であることを証明せよ．

(4)　(2)においてボールの列を番号順に並べ替えるとき，$i$番のボールを，より番号の小さいボールと入れ替える回数の期待値を$E_i$とする．このとき，

${\displaystyle \sum _{i=1}^n}{E}_i$

を求めよ．