Mathematics
Examination
Test
Archives
METAトップへ
年度一覧へ
2014年度一覧へ
大学別一覧へ
富山県立大学一覧へ
2014-11341-0101
2014 富山県立大学 前期工学部
易□ 並□ 難□
【1】 4 点 O ,A , B , C を頂点とする正四面体 OABC がある.辺 OA , OB ,AB , BC の中点を,それぞれ P ,Q , R , S とする. OA→ =a→ , OB→ =b → ,OC →= c→ として,次の問いに答えよ.
(1) PQ→ , QR→ , RS→ をそれぞれ a→ , b→ , c→ を用いて表せ.
(2) OB→ と RS → が垂直であることを示せ.
(3) OC→ と RS → のなす角 θ ( 0≦ θ≦π ) を求めよ.
2014-11341-0102
【2】 n は正の整数とする.等式 C0 n + C1 n ⁢x+ C2 n ⁢x 2+⋯ +Cn n ⁢x n= (1+ x) n を用いて,次の等式が成り立つことを示せ.
(1) C0 n - C1 n + C2 n -⋯+ (- 1) n⋅ Cn n =0
(2) C1 n +2⋅ C2 n +3⋅ C3 n +⋯n ⋅Cn n =n⋅ 2n- 1
(3) C0 n +2⋅ C1 n +3⋅ C2 n +⋯+ (n+ 1)⋅ Cn n =( n+2) ⋅2n -1
2014-11341-0103
【3】 a ,b は定数とする.関数 f ⁡(x )= e-x ⁢sin⁡ x ,g ⁡(x )= e-x ⁢( acos⁡x +b⁢sin ⁡x ) について,次の問いに答えよ.
(1) すべての x に対して d dx ⁢ g⁡( x)= f⁡( x) となるように a , b の値を定めよ.
(2) (2 ⁢k-1 )⁢ π≦x≦ 2⁢k⁢ π ( k=1 ,2 , 3 ,⋯ ) の範囲で,曲線 y =f⁡( x) と x 軸で囲まれた図形の面積 S k を k の式で表せ.
(3) 極限 limn→ ∞ ∑k =1n Sk を求めよ.
2014-11341-0104
機械システム工,知能デザイン工,情報システム工,環境工学科
【4】 α は実数とする.行列 A =( 1- 3 31 ) ,B= ( cos⁡α -sin⁡ αsin ⁡α cos⁡α ) について,次の問いに答えよ.
(1) A=r( cos ⁡θ- sin⁡θ sin⁡θ cos⁡θ ) と表すとき, r ,θ の値を求めよ.ただし, r>0 , 0<θ <π とする.
(2) Bn =( cos⁡n ⁢α -sin⁡n ⁢α sin⁡n ⁢αcos ⁡n⁢α ) ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ ) となることを数学的帰納法を用いて示せ.
(3) An= rn⁢ (cos ⁡θn -sin⁡ θn sin⁡ θn cos⁡θ n ) ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ ) を ( An )n =A により定める.ただし, rn >0 ,0 <θn < πn とする.このとき, rn , θn を n の式で表せ.
(4) (3)で定めた A n を用いて行列 T n を Tn=n ⁢An により定める.点 O を原点とする座標平面上において, Tn の表す 1 次変換によって点 ( 1,0 ) が移される点を Pn とするとき, ▵OP nP n+1 の面積 S n を n の式で表せ.また,極限 limn→ ∞S n を求めよ.
2014-11341-0105
生物工学科
【4】 n は整数の定数とし, P⁡( x)= x⁢( x+1) ⁢(x +5) とする.次の問いに答えよ.
(1) x についての 3 次方程式 P ⁡(x )=P ⁡( 1) を解け.
(2) x についての 3 次方程式 P ⁡( x)= P⁡( n) が異なる 3 つの実数解をもつとき, n の値を求めよ.