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2014 富山県立大学 前期工学部

易□ 並□ 難□

【1】  4 O A B C を頂点とする正四面体 OABC がある.辺 OA OB AB BC の中点を,それぞれ P Q R S とする. OA =a OB =b OC = c として,次の問いに答えよ.

(1)  PQ QR RS をそれぞれ a b c を用いて表せ.

(2)  OB RS が垂直であることを示せ.

(3)  OC RS のなす角 θ 0 θπ を求めよ.

2014 富山県立大学 前期工学部

易□ 並□ 難□

【2】  n は正の整数とする.等式 C0 n + C1 n x+ C2 n x 2+ +Cn n x n= (1+ x) n を用いて,次の等式が成り立つことを示せ.

(1)  C0 n - C1 n + C2 n -+ (- 1) n Cn n =0

(2)  C1 n +2 C2 n +3 C3 n +n Cn n =n 2n- 1

(3)  C0 n +2 C1 n +3 C2 n ++ (n+ 1) Cn n =( n+2) 2n -1

2014 富山県立大学 前期工学部

易□ 並□ 難□

【3】  a b は定数とする.関数 f (x )= e-x sin x g (x )= e-x ( acosx +bsin x ) について,次の問いに答えよ.

(1) すべての x に対して d dx g( x)= f( x) となるように a b の値を定めよ.

(2)  (2 k-1 ) πx 2k π k=1 2 3 の範囲で,曲線 y =f( x) x 軸で囲まれた図形の面積 S k k の式で表せ.

(3) 極限 limn k =1n Sk を求めよ.

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機械システム工,知能デザイン工,情報システム工,環境工学科

易□ 並□ 難□

【4】  α は実数とする.行列 A =( 1- 3 31 ) B= ( cosα -sin αsin α cosα ) について,次の問いに答えよ.

(1)  A=r( cos θ- sinθ sinθ cosθ ) と表すとき, r θ の値を求めよ.ただし, r>0 0<θ <π とする.

(2)  Bn =( cosn α -sinn α sinn αcos nα ) n=1 2 3 となることを数学的帰納法を用いて示せ.

(3)  An= rn (cos θn -sin θn sin θn cosθ n ) n=1 2 3 ( An )n =A により定める.ただし, rn >0 0 <θn < πn とする.このとき, rn θn n の式で表せ.

(4) (3)で定めた A n を用いて行列 T n Tn=n An により定める.点 O を原点とする座標平面上において, Tn の表す 1 次変換によって点 ( 1,0 ) が移される点を Pn とするとき, OP nP n+1 の面積 S n n の式で表せ.また,極限 limn S n を求めよ.

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生物工学科

易□ 並□ 難□

【4】  n は整数の定数とし, P( x)= x( x+1) (x +5) とする.次の問いに答えよ.

(1)  x についての 3 次方程式 P (x )=P ( 1) を解け.

(2)  x についての 3 次方程式 P ( x)= P( n) が異なる 3 つの実数解をもつとき, n の値を求めよ.

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