2014　静岡文化芸術大学　前期MathJax

【１】　次の各問いに答えよ．ただし，$i$は虚数単位とする．

(1)　$i+i^2+i^3+\cdots +i^{100}$を計算せよ．

(2)　$x={\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}i}{2}}$のとき，$4x^4-5x^3+6x^2-7x+8$を計算せよ．

【２】　点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2$の円に内接している正方形$\mathrm{ABCD}$がある．点$\mathrm{P}$が，点$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$間の弧$\mathrm{CD}$上を動くとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\angle \mathrm{POD}=\theta$とするとき，点$\mathrm{P}$から正方形の$4$頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$までの距離$\mathrm{PA}\text{，}\mathrm{PB}\text{，}\mathrm{PC}\text{，}\mathrm{PD}$を，$\theta$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$から正方形の$4$頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$までの距離$\mathrm{PA}\text{，}\mathrm{PB}\text{，}\mathrm{PC}\text{，}\mathrm{PD}$の積の最大値を求めよ．

【３】　$2$次方程式$|x^2-6x+8|-x+k=0$の異なる実数解の個数が$3$個以上となるように，定数$k$の値の範囲を求めよ．

【４】　$xy$平面上に放物線$C\text{：}y=x^2-2x-6$と直線$l\text{：}y=x-2$がある．$C$と$l$の$2$つの交点を$x$座標の小さい方から順に$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．$C$上の点$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$まで動くとき，$▵\mathrm{APB}$の重心$\mathrm{G}$の軌跡を求めよ．

【５】　点$(-2,-2)$から，曲線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^3+x$に引いた接線の方程式を求めよ．

【６】　四面体$\mathrm{ABCD}$において，次の等式を満たす点$\mathrm{P}$はどのような位置にある点か．

$3\overrightarrow{\mathrm{AP}}+2\overrightarrow{\mathrm{BP}}+\overrightarrow{\mathrm{CP}}+9\overrightarrow{\mathrm{DP}}=\overrightarrow{0}$

【７】　$3$本の当たりくじを含む$15$本のくじから，$\mathrm{A}$君と$\mathrm{B}$君の$2$人が，$\mathrm{A}$君$\mathrm{B}$君の順に$1$本ずつくじを引く．引いたくじはもとに戻さないものとする．

(1)　$\mathrm{A}$君が当たって，次に引いた$\mathrm{B}$君がはずれる確率を求めよ．

(2)　$\mathrm{B}$君がはずれる確率を求めよ．

【８】　地震の大きさを表すマグニチュードを$M$とし，地震のエネルギーを$E$（単位はジュール）とするとき，その関係は，

${\log }_{10}E=4.8+1.5M$

で表される．

(1)　地震のエネルギーが$1000$倍になるとき，マグニチュードはいくつ増えるか．整数で答えよ．

(2)　マグニチュードが$1$増加したとき，地震のエネルギーは約何倍になるか．小数点以下を四捨五入し，整数で答えよ．ただし，$\sqrt{2}=1.414\text{，}\sqrt{5}=2.236$とする．