2014　名古屋市立大　前期MathJax

【１】　$xy$平面上に動点$\mathrm{P}(t,2t)\text{，}\mathrm{Q}(t-1,1-t)$がある．ただし，$0\leqq t\leqq 1$とする．次の問いに答えよ．

(1)　実数$k$に対して直線$x=k$と直線$\mathrm{PQ}$との交点を求めよ．

(2)　閉区間$[-1,1]$内の定数$a$に対し，直線$x=a$と線分$\mathrm{PQ}$との交点の$y$座標のとり得る範囲を$a$で表せ．

(3)　$t$が$0$から$1$まで動くとき，線分$\mathrm{PQ}$が動く領域$S$の面積を求めよ．

【２】　空間に四面体$\mathrm{ABCD}$と点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$があり，

$4\overrightarrow{\mathrm{PA}}+5\overrightarrow{\mathrm{PB}}+6\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{0}$

$4\overrightarrow{\mathrm{QA}}+5\overrightarrow{\mathrm{QB}}+6\overrightarrow{\mathrm{QC}}+7\overrightarrow{\mathrm{QD}}=\overrightarrow{0}$

を満たす．次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．

(2)　三角形$\mathrm{PAB}$と三角形$\mathrm{PBC}$の面積比を求めよ．

(3)　四面体$\mathrm{QABC}$と四面体$\mathrm{QBCD}$の体積比を求めよ．

【３】　円周上に等間隔に$n$個（$n\geqq 4$）の点が配置されている．これらの点から異なる$3$点を無作為に選び出し，それらを頂点とする三角形をつくる．次の問いに答えよ．

(1)　$n=8$のとき，三角形が直角三角形になる確率を求めよ．

(2)　$n$が偶数であるとき，三角形が直角三角形になる確率を$n$の式で表せ．

(3)　$n=12$のとき，三角形が鈍角三角形になる確率を求めよ．

【４】　$xy$平面において，曲線$y=n{x}^2$（$n$は自然数，$x\geqq 0$）を$C_n$とし，直線$y=1$を$L$とする．$2$つの曲線$C_n\text{，}{C}_{n+1}$および$L$で囲まれた図形の面積を$S_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$S_n$を求めよ．

(2)　任意の$n$に対して$S_n>S_{n+1}$が成り立つことを示せ．

(3)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{S}_k>{\displaystyle \frac{1}{2}}$となる最小の$n$を求めよ．

【１】　$xy$平面上に動点$\mathrm{P}(t,2t)\text{，}\mathrm{Q}(t-1,1-t)$がある．ただし，$0\leqq t\leqq 1$とする．次の問いに答えよ．

(1)　実数$k$に対して直線$x=k$と直線$\mathrm{PQ}$との交点を求めよ．

(2)　閉区間$[-1,1]$内の定数$a$に対し，直線$x=a$と線分$\mathrm{PQ}$との交点の$y$座標のとり得る範囲を$a$で表せ．

(3)　$t$が$0$から$1$まで動くとき，線分$\mathrm{PQ}$が動く領域$S$の面積を求めよ．

(4)　$S$を$x$軸の周りに$1$回転させた回転体の体積を求めよ．

【４】　$x\geqq 0$で定義される関数$f(x)=x{e}^{\frac{x}{2}}$についての次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)　$f(x)$の第$1$次導関数を$f^{\prime }(x)\text{，}$第$2$次導関数を$f^{″}(x)$とする．$f^{\prime }(2)\text{，}{f}^{″}(2)$を求めよ．

(2)　$f(x)$の逆関数を$g(x)\text{，}g(x)$の第$1$次導関数を$g^{\prime }(x)\text{，}$第$2$次導関数を$g^{″}(x)$とする．$g^{\prime }(2e)\text{，}{g}^{″}(2e)$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$を$1:1$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$線分$\mathrm{BD}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}$線分$\mathrm{CE}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{F}\text{，}$直線$\mathrm{OF}$と平面$\mathrm{ABC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$で表せ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$\sqrt{x^2+84}$が整数となるような正の整数$x$をすべて求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　方程式${\log }_3(x-1)+{\log }_9(x+9)-1=0$を解け．

【２】　次の問いに答えよ．

(2)　$1$辺の長さが$1$の正方形の紙から右図のように高さが$x$の合同な$4$枚の二等辺三角形を切りとって除き，四角錐の展開図を作る．その展開図を折り曲げて作られる四角錐の体積$V$が最大となる$x$と，その時の体積$V$の最大値を求めよ．

【４】　$f(x)$は$x$の$4$次関数であり，点$\mathrm{A}(2,1)\text{，}$点$\mathrm{B}(0,k)\text{，}$点$\mathrm{C}(-1,{\displaystyle \frac{13}{4}})$の$3$点で極値をもつ．次の問いに答えよ．

(1)　$k$および$f(x)$を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}$が原点$\mathrm{O}$になるように，曲線$y=f(x)$を平行移動した曲線の方程式$y=g(x)$を求めよ．

(3)　放物線$y=p{x}^2$が$y=g(x)$と原点$\mathrm{O}$以外で共有点をもなたいための$p$の条件を求めよ．