2014　名古屋市立大　後期経済学部MathJax

【１】　自然数$x\text{，}y\text{，}z$は条件$x\leqq y\leqq z$および$xy+yz+zx=xyz$を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)　不等式$x\leqq 3$を示せ．

(2)　与えられた条件を満たす$x\text{，}y\text{，}z$の組をすべて求めよ．

【２】　座標空間内に原点$\mathrm{O}$および$4$点$\mathrm{A}(1,4,0)\text{，}\mathrm{B}(1,0,\sqrt{3})\text{，}\mathrm{C}(1,4,\sqrt{3})\text{，}\mathrm{D}(0,4,\sqrt{3})$を考える．線分$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{P}$をとり，線分$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$線分$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{N}\text{，}3$点$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}\text{，}\mathrm{P}$を通る平面を$\alpha$とする．次の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$のなす角が$45\mathrm{°}$のとき，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(2)　(1)のとき，平面$\alpha$と$xy$平面との交線$l$の方向ベクトルを求めよ．

(3)　交線$l$上に点$\mathrm{R}$をとる．直線$\mathrm{RM}$と$l$が直交するとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{RM}}$を求めよ．

【３】　$n$を$2$以上の自然数とする．$1$から$n$までの数字が$1$つずつ書かれた$n$枚のカードがある．これらのカードから$2$枚を無作為に選び，カードに書かれた数字の差の絶対値を$d$とする．この試行について次の問いに答えよ．

(1)　$d=1$となる確率を$n$で表せ．

(2)　$d$の期待値$E$を$n$で表せ．

(3)　$n=10$とする．選んだ$2$枚のカードをもとに戻して試行を繰り返す．$m$回目の試行で初めて$d=1$となる確率$P_n$を求めよ．

(4)　$P_m<{\displaystyle \frac{1}{40}}$となる最小の$m$を求めよ．ただし，$0.3<{\log }_{10}2<0.302$を用いてよい．

【４】　実数$a\text{，}b$の小さくない方を$\max \{a,b\}$と表す．関数

$f(x)=\max \{x^2-2x-3,0\}+\max \{-2x^2+4x,0\}$

について，次の問いに答えよ．

(1)　関数$y=f(x)$のグラフをかけ．

(2)　曲線$y=f(x)$と直線$y=mx+1$の交点の数を求めよ．