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2014-11521-0101
2014 滋賀県立大学 前期
工,環境科学部
易□ 並□ 難□
【1】 2 次関数 f ⁡(x )=a ⁢x2 +b⁢x +c ( a , b ,c は定数で a ≠0 とする)がある. d を正の数として, f⁡( 0)= p, f⁡ (d )=q , f⁡ (2⁢ d)= r とおく.
(1) a ,b , c を p , q ,r , d で表せ.
(2) S1 = ∫02 ⁢d f⁡( x)⁢ dx を p , q ,r , d で表せ.
(3) S2 = ∫02 ⁢d |f ⁡( x) | ⁢dx とおく. p=1 , q=0 , r=3 および d =1 のとき, S2 -S1 を求めよ.
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【2】 a ,b は定数で, a≧b である.
(1) 2 次方程式 x2-a ⁢x+b =0 の 2 つの解が正の整数であるとき, a ,b が満たすべき条件を求めよ.
(2) 2 次方程式 x2-a ⁢x+b =0 および x2-b ⁢x+a =0 の解がすべて正の整数であるとき, a ,b が満たすべき条件を求めよ.
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【3】 2 次の正方行列 A =( ab cd ) ( a , b ,c , d は実数とする)に対して, 2 次方程式 x 2-( a+d) ⁢x+a ⁢d-b ⁢c=0 は相異なる 2 つの実数解 α , β をもつとする.いま,
P= 1α- β⁢ (A -β⁢E ), Q= 1β-α ⁢ (A -α⁢E )
とおく.ただし, E は 2 次の単位行列である.
(1) P⁢Q =Q⁢P =O が成り立つことを示せ.ただし, O は 2 次の零行列である.
(2) P+Q= E, P2 =P および Q2=Q が成り立つことを示せ.
(3) A=α ⁢P+β ⁢Q が成り立つことを示せ.
(4) An =αn ⁢P+ βn⁢ Q ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ ) が成り立つことを示せ.
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【4】 t は 0 <t<1 を満たす実数とし, 0≦x ≦ π2 の範囲で 3 つの曲線 C1: y=sin⁡ x, C2 :y=cos ⁡x ,C 3:y =t⁢cos ⁡x を考える.
(1) y 軸と C1 ,C 3 で囲まれる部分の面積 S 1 を t で表せ.
(2) C1 , C2 , C3 で囲まれる部分の面積を S 2 とおく. S1 =S2 となる t とそのときの S 1 の値を求めよ.