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2014 滋賀県立大学 前期

工,環境科学部

易□ 並□ 難□

【1】  2 次関数 f (x )=a x2 +bx +c a b c は定数で a 0 とする)がある. d を正の数として, f( 0)= p f (d )=q f (2 d)= r とおく.

(1)  a b c p q r d で表せ.

(2)  S1 = 02 d f( x) dx p q r d で表せ.

(3)  S2 = 02 d |f ( x) | dx とおく. p=1 q=0 r=3 および d =1 のとき, S2 -S1 を求めよ.

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【2】  a b は定数で, ab である.

(1)  2 次方程式 x2-a x+b =0 2 つの解が正の整数であるとき, a b が満たすべき条件を求めよ.

(2)  2 次方程式 x2-a x+b =0 および x2-b x+a =0 の解がすべて正の整数であるとき, a b が満たすべき条件を求めよ.

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【3】  2 次の正方行列 A =( ab cd ) a b c d は実数とする)に対して, 2 次方程式 x 2-( a+d) x+a d-b c=0 は相異なる 2 つの実数解 α β をもつとする.いま,

P= 1α- β (A -βE ) Q= 1β-α (A -αE )

とおく.ただし, E 2 次の単位行列である.

(1)  PQ =QP =O が成り立つことを示せ.ただし, O 2 次の零行列である.

(2)  P+Q= E P2 =P および Q2=Q が成り立つことを示せ.

(3)  A=α P+β Q が成り立つことを示せ.

(4)  An =αn P+ βn Q n=1 2 3 が成り立つことを示せ.

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【4】  t 0 <t<1 を満たす実数とし, 0x π2 の範囲で 3 つの曲線 C1 y=sin x C2 y=cos x C 3y =tcos x を考える.

(1)  y 軸と C1 C 3 で囲まれる部分の面積 S 1 t で表せ.

(2)  C1 C2 C3 で囲まれる部分の面積を S 2 とおく. S1 =S2 となる t とそのときの S 1 の値を求めよ.

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