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2014-11521-0201
2014 滋賀県立大学 後期
工,環境科学部
易□ 並□ 難□
【1】
(1) 関数 y =x3 ⁢e- 2⁢x 2 の導関数を求めよ.
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(2) 不定積分 ∫ 3⁢x+ 22⁢ x2-x -1 ⁢ dx を求めよ.
2014-11521-0203
(3) 不定積分 ∫ 11+sin ⁡x ⁢ dx を求めよ.
2014-11521-0204
【2】 正の数 a , b ,c が三角形の 3 辺の長さとなるための必要十分条件は
a+b> c ,b+ c>a ,c+ a>b
がすべて成り立つことである.この事実を用いて,次の問いに答えよ.
(1) a ,b , c がある三角形の 3 辺の長さであるとき,その三角形が鋭角三角形であるための必要十分条件は
a2 +b2 >c2 , b2 +c2 >a2 , c2 +a2 >b2 (*)
がすべて成り立つことであることを示せ.
(2) 正の数 a , b ,c が鋭角三角形の 3 辺の長さとなるための必要十分条件は(*)がすべて成り立つことであることを示せ.
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【3】(1) 次のように 1 と p が交互に並ぶ数列 { an } の一般項を求めよ.
1 ,p , 1 ,p , 1 ,p , ⋯
(2) p=4 のとき, ∑k= 1n ak ≧2n -1 を満たす n をすべて求めよ.
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【4】 A ( 0,a ) を中心とする半径 r の円が曲線 C :y= loge⁡ x+1 に第 1 象限の点 P で接している. P の x 座標を p とする.ただし, e は自然対数の底である.
(1) a と r をそれぞれ p で表せ.
(2) 直線 x =p と曲線 C および x 軸で囲まれる部分の面積 S を p で表せ.
(3) 原点を O とする. S= 1e であるとき, ∠OAP を求めよ.