2014　大阪市立大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}b$を実数とする．$2$次方程式$x^2+2ax+b=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}\beta$とする．重解の場合は$\alpha =\beta$と考える．次の問いに答えよ．

問１　$\alpha \text{，}\beta$が実数で，$\left|\alpha \right|\leqq 1\text{，}\left|\beta \right|\leqq 1$をみたすとき，点$(a,b)$の存在範囲を求めよ．

問２　$\alpha$は虚数とし，$\alpha =p+qi$とおく．ただし，$p\text{，}q$は実数であり，$i$は虚数単位である．$p\text{，}q$が$p^2+q^2\leqq 1$をみたすとき，点$(a,b)$の存在範囲を図示せよ．

【２】　座標空間内に$4$点$\mathrm{A}(0,-1,0)\text{，}\mathrm{B}(2,0,1)\text{，}\mathrm{C}(0,t,-1)\text{，}\mathrm{D}(u,2,1)$がある．ただし，$t\text{，}u$は実数であり，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$は垂直であるとする．次の問いに答えよ．

問１　$t$の値を求めよ．

問２　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の両方に垂直で大きさが$1$のベクトル$\overrightarrow{n}=(p,q,r)$のうち$p>0$となるものを求めよ．

問３　$4$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$が同一平面上に含まれるならば$u=4$であることを示せ．

問４　$u=3$のとき四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．

【３】　図のような三角柱$\mathrm{ABC}‐\mathrm{DEF}$が中心$\mathrm{O}\text{，}$半径$1$の球に内接している．すなわち，三角柱の頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$はすべて，中心$\mathrm{O}\text{，}$半径$1$の球上にある．また，三角形$\mathrm{ABC}$と三角形$\mathrm{DEF}$は合同な正三角形で，四角形$\mathrm{ADEB}\text{，}$四角形$\mathrm{BEFC}\text{，}$四角形$\mathrm{CFDA}$は合同な長方形であるとする．$\angle \mathrm{AOD}=2\alpha \text{，}\angle \mathrm{AOB}=2\beta$とおく．ただし，$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}0<\beta <{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$とする．次の問いに答えよ．

問１　${\displaystyle \frac{\sin \beta }{\cos \alpha }}$の値を求めよ．

問２　三角柱$\mathrm{ABC}‐\mathrm{DEF}$の体積$V$を$\alpha$を用いて表せ．

問３　$V$の最大値を求めよ．

【４】　$3$個のさいころを同時に投げて得点を得るゲームをおこなう．$3$個のさいころのうち，最も大きな目が出たさいころを$1$個だけ，最も小さな目が出たさいころを$1$個だけ，それぞれ取り除き，残った$1$個のさいころの目を$C$とする．とくに，$3$個のさいころの目が一致するときは，その目が$C$である．$C\geqq 4$ならば得点を$C$とし，$C\leqq 3$ならば得点を$0$とする．次の問いに答えよ．

問１　得点が$6$となる確率を求めよ．

問２　得点が$5$となる確率を求めよ．

問３　得点が$4$となる確率を求めよ．

問４　得点の期待値を求めよ．

【１】　$a\text{，}b$を実数とし，定積分${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{(x-a-b\cos x)}^{2}dx$の値を$I(a,b)$とおく．次の問いに答えよ．

問１　不定積分${\displaystyle \int }{\cos }^{2}xdx$を求めよ．

問２　不定積分${\displaystyle \int }x\cos xdx$を求めよ．

問３　$I(a,b)$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

問４　$a\text{，}b$が実数全体を動くときの$I(a,b)$の最小値，および，$I(a,b)$が最小値をとるときの$a\text{，}b$の値を求めよ．

【２】　$a>0\text{，}b>0$とし，座標平面上の$\stackrel{\text{だ}}{\text{楕}}$円$K\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$上の$2$点$\mathrm{A}(a\cos \theta ,b\sin \theta )\text{，}\mathrm{B}(a\cos (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{2}}),b\sin (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\left)\right)$のそれぞれにおける$K$の接線を$l\text{，}m$とする．ただし，$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$とする．$2$直線$l$と$m$の交点を$\mathrm{C}(c,d)$とし，さらに$2$点$\mathrm{D}(a\cos (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{2}}),0)\text{，}\mathrm{E}(c,0)$をとる．台形$\mathrm{CBDE}$の面積を$S$とする．次の問いに答えよ．

問１　$c$および$d$を$a\text{，}b\text{，}\theta$を用いて表せ．

問２　$S$を$a\text{，}b\text{，}\theta$を用いて表せ．

問３　$\theta$が$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$の範囲を動くときの$S$の最大値，および，$S$が最大値をとるときの$m$の傾きを$a\text{，}b$を用いて表せ．

【３】　$1$次変換$f$は点$(1,3)$を点$(3,5)$へ，点$(1,-1)$を点$(1,-1)$へ移すとする．$f$を表す行列を$A$とするとき，次の問いに答えよ．

問１　$A$を求めよ．

問２　$A^2\text{，}{A}^3$を求めよ．

問３　自然数$n$に対して$A^n$を推測し，その推測が正しいことを数学的帰納法によって証明せよ．

【４】　座標空間内に$4$点$\mathrm{A}(0,-1,0)\text{，}\mathrm{B}(2,t,1-t)\text{，}\mathrm{C}(0,s,-1)\text{，}\mathrm{D}(3,2,1)$がある．ただし，$t$と$s$は実数で$t>-1$をみたし，また$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$は垂直であるとする．次の問いに答えよ．

問１　$s$を$t$を用いて表せ．

問２　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の両方に垂直で大きさが$1$のベクトル$\overrightarrow{n}=(p,q,r)$のうち$p>0$となるものを$t$を用いて表せ．

問３　$4$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$が同一平面に含まれるための必要十分条件は，$t=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$または$t=1$であることを証明せよ．