2014　大阪府立大学　前期MathJax

【１】　数直線上の座標$x$に点$\mathrm{P}$があるとき，表と裏がそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{2}}$の確率で出る硬貨$2$枚を$1$回投げて，点$\mathrm{P}$の位置を次のように決める．

(ⅰ)　$2$枚とも表が出たときは，座標$x+1$に移動する．

(ⅱ)　$2$枚とも裏が出たときは，座標$x-1$に移動する．

(ⅲ)　表と裏が$1$枚ずつ出たときは，移動しない．

　点$\mathrm{P}$の最初の位置を座標$0$とする．硬貨$2$枚を$5$回投げ終わったときに，点$\mathrm{P}$が次の位置にある確率をそれぞれ求めよ．

(1)　座標$4$

(2)　座標$3$

(3)　座標$0$

【２】　$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$をみたす二等辺三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{AB}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{Q}\text{，}$直線$\mathrm{OP}$と直線$\mathrm{AQ}$の交点を$\mathrm{R}\text{，}$直線$\mathrm{BR}$と辺$\mathrm{OA}$の交点を$\mathrm{S}$とし，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおく．このとき，直線$\mathrm{BS}$は辺$\mathrm{OA}$と直交しているとする．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BS}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(3)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．

(4)　三角形$\mathrm{OAB}$の面積を求めよ．

【３】　$a\text{，}b$を定数とし，$2$次の正方行列$A\text{，}X\text{，}Y$は

$A=aX+bY\text{，}X+Y=E\text{，}XY=O$

をみたすとする．ここで，$E$と$O$はそれぞれ$2$次の単位行列と零行列を表す．このとき，$X+Y=E$の両辺に左から$X$を掛けると$X^2=X$が成り立つことがわかる．

(1)　$Y^2=Y\text{，}YX=O$が成り立つことを示せ．

(2)　$A$が$E$の定数倍ではないとき，$A-aE$と$A-bE$はともに逆行列をもたないことを示せ．

(3)　$A=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 6& 3\end{array}\right)$のとき，$a\text{，}b\text{（}a<b\text{）}$および$X\text{，}Y$を求めよ．

【３】　$a$は正の定数とし，曲線$C_1\text{：}y=a{x}^2\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$と$C_2\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{a}}{(x-1)}^2\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$および$x$軸で囲まれる部分の面積を$S(a)$とする．

(1)　$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を求めよ．

(2)　$S(a)$を求めよ．

(3)　$a$がすべての正の実数を動くとき，$S(a)$の最大値とそれを与える$a$の値を求めよ．

【４】　定数$c$は$1<c<\sqrt{2}$をみたすとし，$0\leqq x<1$で定義された$2$つの関数

$f(x)=x+\sqrt{1-x^2}\text{，}g(x)=cf(x)-x\sqrt{1-x^2}$

を考える．$g(x)$の導関数を$g^{\prime }(x)$と表す．

(1)　$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，それらを与える$x$の値も求めよ．

(2)　$g^{\prime }(x)=h(x)(c-f(x))$をみたす関数$h(x)$を求めよ．

(3)　$g(x)$の最大値を求めよ．ただし，最大値を与える$x$の値を求める必要はない．

【４】　数列$\{a_n\}$の初項$a_1$から第$n$項$a_n$までの和$S_n$が

$S_n=2a_n+n^2-n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

をみたすとする．

(1)　$a_1$と$a_2$を求めよ．

(2)　$a_{n+1}-2a_n$を$n$の式で表せ．

(3)　$b_n=a_{n+1}-a_n-2\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とおくと，数列$\{b_n\}$は等比数列となることを示し，初項$b_1$と公比を求めよ．

(4)　$a_n$を$n$の式で表せ．