2014　大阪府立大学　中期MathJax

2014-11561-0201

2014　大阪府立大学　中期

工学部

配点40点

易□　並□　難□

(1)　次の文章のに適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

次のように $1$ から $5$ までの数字が書かれたカードを用意する．

$1 2 3 4 5$

それに次のように $4$ の数字が書かれたカードを $1$ 枚加える．

$1 2 3 4 5 4$

この $6$ 枚のカードを $1$ 列に並べて $6$ 桁の整数をつくる．このとき，つくられる相異なる整数の場合の数は $①$ であり，その中で $5$ の倍数となる相異なる整数の場合の数は $②$ である．次にこの $6$ 枚のカードに $0$ と書かれたカードを加えて $7$ 枚のカードにし，この $7$ 枚のカードを $1$ 列に並べる．左端に $0$ 以外のカードが来ることによって $7$ 桁の相異なる整数になる場合の数は $③$ である．その中で， $1$ のカードと $2$ のカードが隣り合う相異なる整数の場合の数は $④$ である．

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工学部

配点40点

易□　並□　難□

(2)　次の不定積分を求めよ．ただし，積分定数は省略してよい．

$\int x \log (1 + x) d x$

2014-11561-0203

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配点50点

易□　並□　難□

【２】　座標空間内に $3$ 点 $A (1, 1, 2) ， B (3, 5, 7) ， C (4, 4, 5)$ がある．また， $s ， t$ は実数であるとして，点 $P (s, t, 4)$ を考える．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　点 $P$ が $3$ 点 $A ， B ， C$ を通る平面上にあるための $s ， t$ の関係式を求めよ．

(2)　点 $P$ が直線 $AB$ 上にあるときの $s ， t$ の値を求めよ．

(3)　点 $P$ が $3$ 点 $A ， B ， C$ を通る平面上を動くとき，その軌跡により三角形 $ABC$ は二つの部分に分けられる．この二つの部分の面積の比の値 $r$ を求めよ．ただし， $r ≧ 1$ とする．

（(1)，(2)，(3)については計算の過程を記入しなくてよい．）

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工学部

配点50点

易□　並□　難□

【３】　 $x ≧ 0$ で定義された関数

$f_{n} (x) = x^{a} - x^{a + \frac{1}{n}}$

を考える．ただし， $a$ は正の実数とし， $n$ は自然数とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　区間 $[0, 1]$ において， $f_{n} (x)$ の最大値を与える $x$ の値を $x_{n}$ とおく． $x_{n}$ を求めよ．

(2)　極限 $\lim_{n \to \infty} x_{n}$ を求めよ．

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工学部

配点60点

易□　並□　難□

【４】　以下の問いに答えよ．

(1)　関数 $f (x) = | x |$ が $x = 0$ において微分可能でないことを微分の定義に基づいて示せ．

(2)　 $y = x | x |$ のグラフの概形を描け．

(3)　 $m$ は自然数とする．関数 $g (x) = x^{m} | x |$ が $x = 0$ において微分可能であるか微分可能でないかを理由をつけて答えよ．

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工学部

配点60点

易□　並□　難□

【５】　 $0 < x ≦ 2 π$ において定義された関数 $h (x) = \frac{\sin x}{x}$ について，以下の問いに答えよ．

(1)　 $h (x)$ の最小値を与える $x$ がただ一つ存在することを示せ．

(2)　 $h (x)$ の最小値を与える $x$ の値を $b$ とおく．次の定積分を求めよ．

$\int_{π}^{b} x^{2} h (x) d x$

(3)　 $b$ は $\frac{17}{12} π < b < \frac{3}{2} π$ をみたすことを示せ．