2014　兵庫県立大学　前期MathJax

(1)　すべての自然数$n$に対して$a_{n+1}<a_n$が成り立つことを示しなさい．

(2)　$a_n<{\displaystyle \frac{1}{10}}$となる$n$の最小の値を求めなさい．

(1)　$a\text{，}b\text{，}1$それぞれの間に成り立つ大小関係を調べなさい．

(2)　条件$t\ne 1\text{，}t>0$を満たす任意の実数$t$に対して定まる$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{T}$について，$\mathrm{AT}:\mathrm{BT}$を求めなさい．

(3)　図中の点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$は各々$C_a\text{，}{C}_b$上の点であり，各々の$y$座標は互いに等しく，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$8$である．このとき，点$\mathrm{P}$の$x$座標$u$の値を求めなさい．

$x_{n+1}=x_n-y_n\text{，}{y}_{n+1}=x_n+y_n\text{，}$

として定める．次の問に答えなさい．

(1)　各自然数$n$に対して，${x_n}^2+{y_n}^2=2^{n-1}$が成り立つことを示しなさい．

(2)　各自然数$n$に対して，$x_{n+1}{x}_n+y_{n+1}{y}_n$および$x_{n+2}{x}_n+y_{n+2}{y}_n$の値を求めなさい．

(3)　各自然数$n$に対して，$xy$平面上に点${\mathrm{P}}_n(x_n,y_n)$をとる．このとき，$\angle {\mathrm{P}}_{n+1}{\mathrm{OP}}_n$と$\angle {\mathrm{P}}_{n+2}{\mathrm{OP}}_n$の大きさを求めなさい．ただし，点$\mathrm{O}$は$xy$平面の原点である．

(4)　一般項$x_n\text{，}{y}_n$を各々求めなさい．

(1)　最大辺の長さ$z$の取り得る値の範囲を求めなさい．

(2)　与えられた条件を満たす三角形のうち，最大辺の長さが$45$の三角形は何個あるか．

(3)　与えられた条件を満たす三角形は全部で何個あるか．

(1)　$f(x)$の増減表をかけ．ただし，凹凸は調べなくてよい．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\pi /4}}f(x)\sin xdx$を求めよ．

(1)　$\underset{n\to \infty }{\lim }(a_{n+1}-a_n)$を求めよ．

(2)　$a_n$が最小となる$n$を求めよ．

(1)　点$\mathrm{O}$を通り，ベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{c}$に平行な平面$\alpha$がある．点$\mathrm{P}$から平面$\alpha$に垂線を下ろし，その足を$\mathrm{H}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$x\text{，}$$y\text{，}$$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$のうち，必要なものを用いて表せ．

(2)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|=\sqrt{3}$となるように点$\mathrm{P}$が動くとする．このとき，$x\text{，}$$y$から定まる点$\mathrm{Q}(x,y)$の軌跡を求め，その概形をかけ．